南师大附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测卷（2）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合A??1,2?，B?a,a?3，若A?B={1}，则实数a的值为________
2??2．设复数z＝(1＋2i)2（i为虚数单位），则z的共轭复数为 ．
3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．
5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ．
6．已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2，且
VS19?，体积分别为V1,V2，若它们的侧面积相等，则1? ． S24V227．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1?a2??3，S5=10，则a9的值是 ．
?2x?2，x?18．已知函数f(x)??，若f[f(0)]?2，则实数a的值是 ．
log(x?1)，x?1?a9．已知圆C：(x?1)?(y?a)?16，若直线ax?y?2?0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，则实数a的值为 ．
2210．已知实数a，b?(0，2)，且满足a?b?4?224a?2?4b，则a＋b的值为 ． b2 1
x2y2xoy11．在平面直角坐标系中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的
ab 一个端点B．设原点到直线BF的距离为d1，F点到l的距离为d2． 若d2?6d1，则椭圆C的离心率为 ．12．已知菱形ABCD中，对角线AC＝3，BD＝1，P是AD边上的动点（包括端点），则PB?PC的取值范围为 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)（a?0），P是函数y?的最短距离为22，则满足条件的正实数a的值为 ．
1
(x?0)图象上一动点，若点P，A之间x
14．若⊥ABC的内角A,B,C满足sinA?2sinB?2sinC，则cosC的最小值是 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?、?的值．
16．（本小题满分14分）
D，E分别为AB，BC的中点，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点F在侧棱B1B上，且B1D?A1F，AC11?A1B1． 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
17．（本小题满分14分）
2
1x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且经过点(3,)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），
ab22直线l过右顶点A且垂直于x轴． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S?PCD?2S?PEF，求点P的坐标．
18．（本小题满分16分）
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1．5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A?EF处，点A?落在牛皮纸上，沿A?E，A?F裁剪并展开，得到风筝面AEA?F，如图1．
（1）若点E恰好与点B重合，且点A?在BD上，如图2，求风筝面ABA?F的面积； （2）当风筝面AEA?F的面积为3m2时，求点A?到AB距离的最大值．
19．（本小题满分16分）
D C
D C
F F A （图1）
E B A （图2）
B（E）
3
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