2018年中考数学专题复习第四讲 - 创新思维问题研究

2018年中考数学专题复习第四讲---创新思维问题研究

【专题分析】

创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养,是素质教育中最具活力的课题,体现在数学教学方面,就是创新试题的命制.自新课改进行以来,创新类试题大量呈现,这类试题通常都源于新课程标准,又不完全拘泥于新课程标准.形式多样,有的是操作创新题,有的是新定义试题,有的是情境创新题,有的是规律探究创新题,有的是最优方案设计创新题,有的是信息迁移类创新题,有的是题型创新,有的是“老树新花”型创新. 【知识归纳】

在创新类题目中,体现更多的是新定义题,即定义一些考生从未接触过的新概念、新公式、新运算、新法则,它立意新,容量大,具有相当浓度和明确导向,更多体现了新课改精神,是创新题中的新宠.一般包含:规律中的新定义,运算中的新定义,探究中的新定义,开放中的新定义,阅读理解中的新定义.通常和其他知识综合在一起考查,灵活性较强,对考生的要求一般比较高,要求考生解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用.

无论是哪种形式的创新题,要想解决这类问题,就要求平时加强对新课程理念的贯彻落实,平时教学中注重过程性教学,注意培养自主探究的学习习惯,注重积累数学活动经验,注重培养应用新知识解决问题的能力. 【题型解析】 题型1:新定义题

例题：（2017山东枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=

．

例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=

．

（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

1

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． 【考点】59：因式分解的应用．

【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；

（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．

【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=

=1；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t是“吉祥数”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36， ∴y=x+4，

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15）=∵＞

＞

，F（26）=＞

＞

，

．

，F（37）=

，F（48）=

=

，F（59）=

，

∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为

方法指导：“新定义型专题”关键要把握两点: (1)掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法;

(2)根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 题型2:操作创新题

2

例题: （2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．

【考点】KI：等腰三角形的判定．

【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值， ①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；

③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可． 【解答】解：分三种情况：

①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

3

∴MC⊥OB， ∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形， ∴MC=OC=4， ∴OM=4

，

﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；

当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4

③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点； ∴当4＜x＜4

时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足

点P恰好有三个；

综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4

﹣4或4

． ﹣4或4

．

故答案为：x=0或x=4

4