高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版1

第二章 圆锥曲线与方程

学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．

知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质

椭圆 平面内与两个定点双曲线 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合 抛物线 平面内与一个定点定义 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合 F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合 标准方程 x2y2y2x2＋＝1或2＋2＝a2b2ab1(a>b>0) y2＝2px或y2＝－x2y2y2x2－＝1或2－2＝1(a>0，22a2b2ab2px或x＝2py或xb>0) a2＋b2＝c2 无限延展，但有渐近线y＝＝－2py(p>0) 无限延展，没有渐近线 关系式 a2－b2＝c2 封闭图形 图形 ±x或y＝±x baab变量范围 |x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴 对称性 顶点 离心率 决定形状的因素 知识点二 椭圆的焦点三角形

四个 对称中心为原点 两条对称轴 两个 一个 ce＝，且01 ae决定开口大小 e＝1 2p决定开口大小 x2y2

设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2

ab为焦点三角形(如图)．

(1)焦点三角形的面积S＝btan .

2

2

α1 / 11

(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧

1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，

x2y2x2y2

即可得到两条渐近线的方程．如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，

ababy2x2y2x2

b>0)，即y＝______________；双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，

ababb>0)，即y＝__________.

2．如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为__________________． 知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx＋ny＝1(m>0，n>0)．

(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 知识点五 三法求解离心率

1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a－b＝c(a＋b＝c)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．

2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．

3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

知识点六 直线与圆锥曲线位置关系

1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．

2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．

2

2

2

2

2

22

2

xyabca

类型一 圆锥曲线定义的应用

2 / 11

例1 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试

916求△F1PF2的面积． 引申探究

将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．

反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．

x2y2

x22x22

跟踪训练1 已知椭圆＋y＝1(m>1)和双曲线－y＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们

mn的一个交点，则△F1PF2的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化 类型二 圆锥曲线的性质及其应用

x2y2x2y2

例2 (1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2

abab的离心率之积为

3

，则C2的渐近线方程为( ) 2

A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

x22

(2)已知抛物线y＝4x的准线与双曲线2－y＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若

a2

△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．

反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．

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跟踪训练2 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2

4在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) 36

A.2 B.3 C. D.

22

x2

2

类型三 直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2

例3 已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心率

ab为2. 2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，直线l的斜率k的值．

反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．

→

跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且AB与n＝(2，－1)共线．

3

)满足|MA|＝|MB|，求7

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