第1课时 三角函数的图象与性质(一)
[基础题组练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是( ) ππ
A．[－，]
223π
C．[π，]
2
B．[0，π] 3π
D．[，2π]
2
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2．当x∈[0，2π]，则y＝tan x＋－cos x的定义域为( )
?π?A.?0，?
2??
3π??C.?π，? 2??
B.?
?π，π?
?
?2??3π，2π?
?
?2?
D．?
tan x≥0，
??－cos x≥0，3π??解析：选C.法一：由题意得?x∈[0，2π]，所以函数y的定义域为?π，?.
2??
π
?x≠kπ＋，k∈Z，?2
故选C.
法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝C.
1
3．函数f(x)＝cos 2x＋3sin xcos x．则下列表述正确的是( )
2π??π
A．f(x)在?－，－?上单调递减
6??3
5π
时，函数有意义，排除B.故选4
?ππ?B．f(x)在?，?上单调递增 ?63??π?C．f(x)在?－，0?上单调递减 ?6??π?D．f(x)在?0，?上单调递增
6??
1
解析：选D.f(x)＝
π?13π?cos 2x＋sin 2x＝sin?2x＋?，由2x＋∈6?226?
?－π＋2kπ，π＋2kπ?，k∈Z，解得x∈?－π＋kπ，π＋kπ?，k∈Z，当k＝0时，
?2??3?26????????x∈?－，?，所以函数f(x)在?－，?上单调递增，故选D.
3636?
?
?
?
π?22?4．已知函数f(x)＝cosx＋sin?x＋?，则( )
6??A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小正周期为2π 1
C．f(x)的最大值为
21
D．f(x)的最小值为－
2
π??1－cos?2x＋?3?1＋cos 2x1111?
解析：选A.f(x)＝＋＝＋cos 2x＋－
222222ππ
ππ
?cos 2xcosπ－sin 2xsinπ?＝1cos 2x＋3sin 2x＋1＝1sin?2x＋π?＋1，则f(x)的最小
??33?6?42???4?
1113正周期为π，最小值为－＋1＝，最大值为＋1＝. 2222
5．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sinx－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )
A.C.π
43π 8
B.π 2
2
D．π
解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝
π?ππππ3π?2sin?2x－?，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋4?24288?
kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤
π
8
3π?π3π?，即函数f(x)在?－，?上单调递增．因为函数
8?8?8
3π3π
，即m的最大值为，故选C. 88
f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤?π??π?6．比较大小：sin?－? sin?－?.
?18??10?
πππ?π??π?解析：因为y＝sin x在?－，0?上为增函数且－＞－>－，故sin?－?＞
18102?2??18?
2
?π?sin?－?. ?10?
答案：＞
π??7．已知函数f(x)＝4sin?2x－?，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是 ． 3??πππ
解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
232π5π
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
1212又因为x∈[－π，0]，
7π??π??所以f(x)的单调递增区间为?－π，－?和?－，0?.
12??12??7π??π??答案：?－π，－?和?－，0?
12??12??
π???π?8．设函数f(x)＝cos?ωx－?(ω>0)．若f(x)≤f??对任意的实数x都成立，则ω6???4?的最小值为 ．
π?π?解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f??成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，
4?4?πωπ22?π?故f??＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝. 4633?4?
2
答案： 3
π??9．已知f(x)＝2sin?2x＋?. 4??(1)求f(x)的单调递增区间；
?π3π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．
4??4
πππ
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??故f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??
π?3ππ7π2?π3π??(2)当x∈?，?时，≤2x＋≤，所以－1≤sin?2x＋?≤，所以－2
4?4?2444?4?
?π3π?≤f(x)≤1，所以当x∈?，?时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.
4??4
3
π???ππ?10．已知函数f(x)＝sin?2x－?.讨论函数f(x)在区间?－，?上的单调性并求出6???122?其值域．
πππππ
解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
26263ππ3π5π
令≤2x－≤π，则≤x≤. 26236ππ因为－≤x≤，
122
π???ππ??ππ?所以f(x)＝sin?2x－?在区间?－，?上单调递增，在区间?，?上单调递减．
6???123??32?π
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
33?π?1?π?因为f?－?＝－ 所以当x＝－时，f(x)min＝－. 122所以f(x)的值域为?－ ? ?3?，1?. 2? [综合题组练] π??1．(2020·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin?ωx＋? 4?? ?π?在区间?0，?上单调递增，则ω的最大值为( ) 8?? 1 A. 2C．2 B．1 D．4 π?πωππ??π?＋?，因为f(x)＝解析：选C.法一：因为x∈?0，?，所以ωx＋∈?， 8?84?4?4?π??π?ωπππ?2sin?ωx＋?在?0，?上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2， 4??8?842?故选C. 法二：将选项逐个代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条 ?π?件f(x)在?0，?上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C. 8?? 2．已知函数f(x)＝(x－a)，角A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，则下列判断正确的是( ) A．当k＝1，a＝2时，f(sin A) 4 kB．当k＝1，a＝2时，f(cos A)＞f(sin B) C．当k＝2，a＝1时，f(sin A)＞f(cos B) D．当k＝2，a＝1时，f(cos A)＞f(sin B) πππ 解析：选D.A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，因为A＋B＞，所以＞A＞－ 222 ????B＞0，所以sin A＞sin?－B?＝cos B，cos A＜cos?－B?＝sin B，且sin A，sin B， 22 ? ? ? ? cos A，cos B∈(0，1)． 当k＝1，a＝2时，函数f(x)＝x－2单调递增，所以f(sin A)＞f(cos B)，f(cos A)＜f(sin B)，故A，B错误； 当k＝2，a＝1时，函数f(x)＝(x－1)在(0，1)上单调递减，所以f(sin A)＜f(cos B)， 2 ππ f(cos A)＞f(sin B)，故C错误，D正确． π??3．已知函数f(x)＝3cos?2x－?－2sin xcos x. 3??(1)求f(x)的最小正周期； 1?ππ?(2)求证：当x∈?－，?时，f(x)≥－. 2?44?π??解：(1)f(x)＝3cos?2x－?－2sin xcos x 3??＝ 33 cos 2x＋sin 2x－sin 2x 22 π?13?＝sin 2x＋cos 2x＝sin?2x＋?， 3?22?2π 所以T＝＝π. 2 πππ (2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤， 344ππ5π 所以－≤2x＋≤， 636 ?ππ?因为y＝sin t在?－，?上单调递增， ?62? 在? ?π，5π?上单调递减，且sin?－π?＜sin5π， ??6?6?6?2?? 1?π?所以f(x)≥sin?－?＝－，得证． 2?6?π??4．已知f(x)＝2sin?2x＋?＋a＋1. 6??(1)求f(x)的单调递增区间； 5 (2)当x∈??? 0，π2???时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合． 解：(1)f(x)＝2sin???2x＋π6???＋a＋1， 由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π 2，k∈Z， 可得kπ－π3≤x≤kπ＋π 6 ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为???kπ－ππ3，kπ＋6???，k∈Z. (2)当x＝π 6时，f(x)取得最大值4， 即f??π?6???＝2sinπ2＋a＋1＝a＋3＝4， 所以a＝1. (3)由f(x)＝2sin???2x＋π6???＋2＝1， 可得sin??? 2x＋π6??1?＝－2， 则2x＋π6＝7π6＋2kπ，k∈Z或2x＋π6＝11 6π＋2kπ，k∈Z， 即x＝π2＋kπ，k∈Z或x＝5π 6＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， 解得x＝－π2，－π6，π5π2，6 ， 所以x的取值集合为 ??ππ?－2 ，－6，π2，5π? 6??. 6
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