全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）若limsinx(cosx?b)?5，则a?______，b?______．
x?0ex?a【答案】1,?4 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】 解析：因为lim所以lim(ex?0xsinx(cosx?b)?5，且limsinx?0,lim(cosx?b)?1?b， xx?0x?0x?0e?a?a)?0,得a?1.
所以limsinxsinx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b?4.
x?0ex?ax?0ex?1（2）函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)?0，
?2f则?______． ?u?v【答案】?g?(v) g2(v)【考点】多元隐函数的求导法 【难易度】★ 【详解】
解析：令u?xg(y)，v?y，则f(u,v)?u?g(v)， g(v)?f1?2fg?(v)???2. 所以，，
?ug(v)?u?vg(v)11?x2xe,??x?,2?22（3）设f(x)??则?1f(x?1)dx?______．
12??1,x?,2?【答案】?1 2【考点】定积分的基本性质；定积分的换元法
【难易度】★★ 【详解】
解析：令x?1?t，
121?2?212f(x?1)dx??11?2f(t)dt＝
?121?2f(t)dt??1(?1)dt
21??11xexdx??1(?1)dx?0?(?)??.22221（4）二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)的秩为______． 【答案】2
【考点】二次型的秩 【难易度】★ 【详解】
解析：因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)
222222?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3
1??21??于是二次型的矩阵为 A??12?1?,
?1?12???222?1?12??1?12?????由初等变换得 A??03?3???03?3? ,
?03?3??000?????从而r(A)?2，即二次型的秩为2.
（5）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?【答案】
DX}? ．
1 e【考点】指数分布 【难易度】★★ 【详解】
解析：由题设，知DX? P{X?1?2，于是
DX}=P{X?}??1?e1????x?dx=?e??x??1??1?. e2（6）设总体X服从正态分布N(?1,?)，总体Y服从正态分布N(?2,?)，X1,X2,L,X?12和Y1,Y2,L,Y?2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则
E[?(Xi?1n1i?X)??(Yj?Y)22j?1n2n1?n2?22
]?______．
【答案】?
【考点】两个正态总体的抽样分布 【难易度】★ 【详解】解析：
n1n21n12222E(Xi?X)??,E?(Xi?X)?(n1?1)?.E?(Yj?Y)2?(n2?1)?2. ?n1?1i?1i?1j?1?n?n21?22?n1n2(X?X)?(Y?Y)1222??ij???Ei?1?[E(X?X)?E(Y?Y)]??. ??ijj?1??n1?n2?2i?1j?1n?n?212????二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （7）函数
f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界．（ ） 2x(x?1)(x?2)（B）(0,1)
（C）(1,2)
（D）(2,3)
（A）(?1,0)
【答案】（A）
【考点】函数的有界性 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法1：当x?0,1,2时f(x)连续，而limx??1?f(x)??sin3sin2limf(x)?? ，，?184x?0x?0?limf(x)?sin2limf(x)??limf(x)??，x?1，x?2， 4所以，函数f (x)在(?1,0)内有界，故选(A).
方法2：因为limf(x)存在，所以存在??0，在区间[??,0)上f(x)有界，又f(x)在?x?0[?1,??]上连续，故f(x)在区间上有界，所以f(x)在区间(?1,0)上有界，选（A）.
（8）设f(x)在(??,??)内有定义，且limx??f(x)?a，
1??f(),x??0,g(x)??x 则（ ） ?x?0,?0,（A）x?0必是g(x)的第一类间断点． （B）x?0必是g(x)的第二类间断点． （C）x?0必是g(x)的连续点．
（D）g(x)在点x?0处的连续性与a的取值有关． 【答案】（D）
【考点】初等函数的连续性 【难易度】★ 【详解】
1解析：因为limg(x)?limf()xx?0x?0x1?ylimf(y)?a，又g(0)?0，
y??所以，当a?0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x?0处连续，当a?0时，
x?0x?0limg(x)?g(0)，即x?0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x?0处的连续性
与a的取值有关，故选（D）． （9）设f(x)?x(1?x)，则（ ）
（A）x?0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点． （B）x?0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点． （C）x?0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点． （D）x?0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点． 【答案】（C）
【考点】函数图形的拐点 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法1： ?(x)?x(x?1)的图形是一条抛物线，
y?f(x)??(x)的图形如图.点x?0是极小值点；
又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的， 所以点(0,0)是拐点，选?C?.
方法2：写出y?f(x)的分段表达式： f(x)????x(1?x),?1?x?0,
x(1?x),0?x?1??1?x?00?x?1,
??1?2x,?1?x?0?2,???f(x)?f(x)?, 从而 ??1?2x,0?x?1???2,从而?1?x?0时, f(x)凹, 1?x?0时, f(x)凸, 于是(0,0)为拐点.
1时, f(x)?0, 从而x?0为极小值点. 又f(0)?0, x?0、所以, x?0是极值点, (0,0)是曲线y?f(x)的拐点, 故选?C?. （10）设有以下命题： ①若
?(un?1??2n?1?u2n)收敛，则?un收敛．
n?1?②若
?un?1n收敛，则
?un?1?n?1000收敛．
?un?1③若limu?1，则?un发散．
n??nn?1④若
?(un?1?n?vn)收敛，则?an，?vn都收敛．
n?1??n?1则以上命题中正确的是（ ） （A）①②． （B）②③． （C）③④． （D）①④． 【答案】（B）
【考点】收敛级数的基本性质；比值审敛法 【难易度】★★ 【详解】
解析：(1)是错误的，如令un?(?1)，显然，
nn?1?un分散，而?(u2n?1?u2n)收敛.
n?1??(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
?un?1?1可得到un不趋向于零(n ? ?)，所以?un发散. (3)是正确的，因为由limn??unn?1???11(4)是错误的，如令un?,vn??，显然，?un，?vn都发散，而?(un?vn)收敛.
nnn?1n?1n?1
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