11
－3，±?，∴|PF1|＝， ∴P?2??217∴|PF2|＝4－＝. 22
x2y2
4.(2018·鞍山调研)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点
2516M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________. 答案 －5
解析 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝
?6－3?2＋?4－0?2＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( ) x2y2
A.＋＝1 1211x2y2
C.－＝1 32答案 D
解析 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，x2y2
F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
32(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( ) x2y2
A.＋＝1(y≠0) 259
x2y2
C.＋＝1(y≠0) 169答案 A
y2x2
B.＋＝1(y≠0) 259
y2x2
D.＋＝1(y≠0) 169x2y2
B.－＝1 3635x2y2
D.＋＝1 32
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不x2y2
共线).设其方程为2＋2＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.
abx2y2
故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
259
命题点2 待定系数法
35
－，?，(3，5)，则椭例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点??22?圆方程为__________. y2x2
答案 ＋＝1
106
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n). 35?－?2m＋??2n＝1，???2??2?由? ??3m＋5n＝1，11解得m＝，n＝.
610y2x2
∴椭圆方程为＋＝1.
106
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________. x2y2
答案 ＋＝1
86
x2y2
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∵P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 43??a2＋b2＝1，∴?又a2＝b2＋c2， ??2a＝4c，∴a＝22，b＝6，c＝2， x2y2
∴椭圆方程为＋＝1.
86
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再
定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式. 跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( ) x2y2
A.＋＝1 369x2y2
C.＋＝1 49答案 A
x2y2
解析 依题意设椭圆G的方程为2＋2＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，
ab3c
∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝2a得
b2＝9，∴椭圆
x2y2
G的方程为＋＝1，故选A.
369
b23
1－2＝，即 a2
b23
1－＝，解362
x2y2
B.＋＝1 936x2y2
D.＋＝1 94
3
，且椭圆G上一2
y2x2
(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.
259y2x2
答案 ＋＝1
204
y2x2
解析 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
259∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. y2x2
设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0).
ab∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ?－5?2?3?2∴＋2＝1，
a2b53
即2＋2＝1.② ab
由①②得b2＝4，a2＝20，
y2x2
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
204
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 求离心率的值(或范围)
x2y2
例3 (1)(2018·通辽模拟)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上
ab的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A.
3113
B. C. D. 6323
答案 D
解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， 2c43c∴|PF1|＝＝，
cos 30°3|PF2|＝2c·tan 30°＝23c
. 3
∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 即
43c23c
＋＝2a，可得3c＝a. 33
c3∴e＝＝. a3
方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝3. 2c|F1F2|3∴e＝＝＝. 2a|PF1|＋|PF2|3
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