x2y2
(2)椭圆2＋2＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，
ab|OP|＝A.
2
a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) 4
2266 B. C. D. 4334
答案 D 解析 设
P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝
a2
， 8
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， 则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2， 整理得x2＋y2＋5c2＝2a2， a2c2322
即＋5c＝2a，整理得2＝， 8a8c6∴椭圆的离心率e＝＝.
a4
x2y2
(3)已知椭圆2＋2＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，
abb－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于则椭圆的离心率e的取值范围是__________. 32
答案 ?，?
?52?解析 因为|PT|＝
|PF2|2－?b－c?2(b>c)，
3
(a－c)，2
而|PF2|的最小值为a－c， 所以|PT|的最小值为依题意，有
?a－c?2－?b－c?2.
3
(a－c)， 2
?a－c?2－?b－c?2≥
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ① 又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1. ② 32
联立①②，得≤e<. 52命题点2 求参数的值(或范围)
x2y2
例4 (2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝
3m120°，则m的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9，＋∞) C.(0,1]∪[4，＋∞) 答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0). 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 3＋x3－x ＋|y||y| B.(0，3]∪[9，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞) ＝ 23|y| ＝22. 3＋x3－xx＋y－31－·|y||y| 又tan∠AMB＝tan 120°＝－3， x2y23y2 2 且由＋＝1，可得x＝3－， 3mm则 23|y|23|y| ＝＝－3. 3y223?2 ?3－＋y－31－y m?m? 2m . 3－m 解得|y|＝ 2m 又0<|y|≤m，即0<≤m， 3－m结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选A. 方法二 当0 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， am则≥tan 60°＝3，即≥3，解得m≥9. b3故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞). 故选A. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： c (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. a(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ b21－2求解. a (3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. x2y2 跟踪训练2 (1)已知椭圆＋2＝1(0 4b于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________. 答案 3 解析 由椭圆的方程可知a＝2， 由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8， 所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3， 2b2 由椭圆的性质可知＝3. a 所以b2＝3，即b＝3. x2y2b (2)在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B， ab2C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________. 答案 6 3 解析 由已知条件易得 B?－ 3b??3a，b?，F(c，0)， a，，C22?2??2 ? 3b3b→→ 所以BF＝?c＋a，－?，CF＝?c－a，－?， 22?22???→→ 由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0， 所以?c－ ? b3??3? －?2＝0， a·c＋a＋?2??2??2? 31 c2－a2＋b2＝0， 44 即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2， c22c6所以2＝，则e＝＝. a3a3 x2y2 (3)(2018·阜新模拟)已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点 abP使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.? 5??2，1? C.?0，5? D.?0，2? ，1 B. 5?2??5??2???
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