x2y2
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
259y2x2
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
259
x2y2
8.设F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两
ab点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为__________. x2y2
答案 ＋＝1
96
解析 ∵△F2AB是面积为43的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代b2
入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝. a又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
b23
∴＝×2c. ① a312b2
又SVFAB＝×2c×＝43， ②
2a2a2＝b2＋c2， ③ 由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3， x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
96
x2y2y2x2
9.已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若
abab16
椭圆C1的一个焦点F(－2，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________.
3答案
2 2
x2y2
＋＝1，a2b2
2
22
2
?解析 联立?yx
?a＋b＝1，
x2－y2x2－y2
两式相减得2＝2，又a≠b，
ab所以
x2＝y2＝a2b2
， a2＋b2
4a2b216
故四边形ABCD为正方形，22＝， (*)
3a＋b
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4， 所以椭圆C的离心率e＝
2. 2x2＋
y2
＝1(0 10.已知A，B，F分别是椭圆 圆的圆心坐标为(p，q).若p＋q>0，则椭圆的离心率的取值范围为______________. 2 答案 ?0，? 2?? 1－ 解析 如图所示，线段FA的垂直平分线为x＝ 1－b21b? ，线段AB的中点为??2，2?. 2 1 因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝， b1b1 x－?. 所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝?2b?2?1－ 把x＝b2－y＝1－b2 ＝p代入上述方程可得 2 1－b2 ＝q. 2b 1－b2b2－1－b2 ＋>0， 22b 1－因为p＋q>0，所以化为b> 1－b2. 1 又0 21 即－1<－b2<－， 21 所以0<1－b2<， 2c 所以e＝＝c＝a 1－b2∈?0， ? 2?. 2? 11.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程. 解 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4， 且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， x2y2 所以点M的轨迹方程为＋＝1. 43 12.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝点坐标、顶点坐标. x2y2 解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0. mm m＋3m?m＋2?mm ∵m－＝>0，∴m>， m＋3m＋3m＋3∴a2＝m，b2＝ m ，c＝m＋3 a2－b2＝ m?m＋2? . m＋3 3 ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦2 3 由e＝，得 2 m＋23 ＝，∴m＝1. m＋32x2＋ y213＝1，∴a＝1，b＝，c＝. 1224 ∴椭圆的标准方程为 ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1?－ ? 3??3，0?，四，0，F22??2? 11 0，－?，B2?0，?. 个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1?2???2? 13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 C.2 2 B.2－3 D.3 2 答案 A 解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线， ∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c， 2 ∴|MF1|＝3c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝3－1. 1＋3x2y25sin C 14.已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝ 2516sin A＋sin B________. 答案 3 x2y2 解析 由椭圆方程＋＝1，得长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B 2516为椭圆的两个焦点. 在△ABC中，|AB|＝6， |BC|＋|AC|＝10， 5×65sin C5|AB| 由正弦定理可得，＝＝＝3. sin A＋sin B|BC|＋|AC|10 x2y2x2y2 15.椭圆C1：2＋2＝1的离心率为e1，双曲线C2：2－2＝1的离心率为e2，其中，a>b>0， ababe13 ＝，直线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为( ) e23x22 A.＋y＝1 2x2y2 C.＋＝1 63答案 C x2y2c1 解析 椭圆C1：2＋2＝1的离心率e1＝＝aba＝ b21＋2， a b21－2 a3＝， b231＋2 a b2x2y2c21－2，双曲线C2：2－2＝1的离心率e2＝aaba x2y2 B.＋＝1 42x2y2 D.＋＝1 168 e13 由＝，得e23
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