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本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一
项。 1.若集合A??0,1,2,4?，B??1,2,3?，则AB?（ ）
A.?0,1,2,3,4? B.?0,4? C.?1,2? D.?3? 2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A.y?e B.y?x C.y?lnx D.y?x 3.已知向量a??2,4?，b???1,1?，则2a?b?（ ）
A.?5,7? B.?5,9? C.?3,7? D.?3,9? 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A.1 B.3 C.7 D.15
?x开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“a?b”是“a?b”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件
22 6?log2x，在下列区间中，包含f?x?零点的区间是（ ） x A.?0,1? B.?1,2? C.?2,4? D.?4,???
6.已知函数f?x??7.已知圆C:?x?3???y?4??1和两点A??m,0?，B?m,0??m?0?，若圆C上存在点
22P，使得?APB?90，则m的最大值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 ，下图 p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p?at2?bt?c（a、b、c是常数）记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
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A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
p0.80.70.5O二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.若?x?i?i??1?2i?x?R?，则x? . 10.设双曲线C的两个焦点为?2,0，
345第2部分（非选择题 共110分）
t
???2,0，一个顶点式?1,0?，则C的方程为
? .
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
22正（主）视图111侧（左）视图俯视图12.在?ABC中，a?1，b?2，cosC?1，则c? ；sinA? . 4
?y?1?13.若x、y满足?x?y?1?0，则z?3x?y的最小值为 .
?x?y?1?0?14.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 粗加工 精加工 原料 原料A 9 15 原料B 6 21 则最短交货期为 工作日. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
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15.（本小题满分13分）已知?an?是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列?bn?满足b1?4，b4?20，且?bn?an?是等比数列.
（1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）求数列?bn?的前n项和.
????的部分图象如图所示. 6??（1）写出f?x?的最小正周期及图中x0、y0的值；
16.（本小题满分13分）函数f?x??3sin?2x?（2）求f?x?在区间??????,??上的最大值和最小值. ?212?yy0Ox0x AA1?AC?2，17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB?BC，
E、F分别为A1C1、BC的中点.
（1）求证：平面ABE?平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥E?ABC的体积.
EA1C1B1ABFC
18. （本小题满分13分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
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（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a，b的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 19. （本小题满分14分）
已知椭圆C：x?2y?4. （1） 求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线y?2，点B在椭圆C上，且OA?OB，求线段AB长度的最小值. 20. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?2x?3x.
（1）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值；
（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切，求t的取值范围；
（3）问过点A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y?f(x)相切？（只需写出结论）
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
22x?y?1 9．2 10． 11．22 12．2
158
8．B
13．1 14．42
三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）
【解析】⑴ 设等差数列?an?的公差为d，由题意得d?所以an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，a4?a112?3??3 33设等比数列bn?an的公比为q，由题意得 q3?b4?a420?12??8，解得q?2． b1?a14?3???．
所以bn?an??b1?a1?qn?1?2n?1． 从而bn?3n?2n?1?n?1，2，? ?．
⑵ 由⑴知bn?3n?2n?1?n?1，2，1?2n3n?1数列?3n?的前n项和为n?n?1?，数列2的前n项和为1×?2n?1．
1?223所以，数列?bn?的前n项和为n?n?1??2n?1．
216．（共13分）
??【解析】⑴ f?x?的最小正周期为π
x0?7π． 6y0?3
π?π?5π?π?⑵ 因为x???，??，所以2x????，0?．
12?6?6?2?ππ于是当2x??0，即x??时，f?x?取得最大值0；
612πππ当2x???，即x??时，f?x?取得最小值?3．
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