高数各章综合测试题与答案

第十一章 无穷级数测试题

一、 单项选择题

1、若幂级数?an(x?1)n在x?1处收敛，则该幂级数在x??处必然

n?1?52( )

(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.

2、下列级数条件收敛的是( ).

(?1)nn; (B) (A) ?n?12n?10??n?1?(?1)n?11; (C) ?(?1)(); (D)

2n?1n3n?1?n?(?1)n?1n?1?3. n??3、若数项级数?an收敛于S，则级数??an?an?1?an?2??( )

n?1n?1(A) S?a1; (B) S?a2; (C) S?a1?a2; (D) S?a2?a1. 4、设a为正常数，则级数???sinna3??2?( ). nnn?1???(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a有关.

5、设f(x)?x,0≤x?1，而S(x)??bnsinnπx,???x???，

2n?1?其中bn?2?0f(x)sinnπx,(n?1,2,L)，则S(?)等于( )

121111(A) ?; (B) ?; (C) ; (D) .

24421二、 填空题 1、

11设?un?4，则?(un?n)?( )

2n?1n?12??2、

设?an?x?1?的收敛域为??2,4?，则级数?nan?x?1?的收敛区

n?1nn?1n?1??间为( ) 3、

?2,?1?x≤0设f(x)??3，则以2为周期的傅里叶级数在x?1处收

x,0?x≤1?敛于( ) 4、

设

f(x)?πx?x2,?π

a0????ancosnx?bnsinnx?, 2n?1则b3?( )

(?1)n2n5、级数?的和为( )

2n?1!?n?1??三、计算与应用题 1、求级数?2、求??1nx?3;的收敛域 ??nn?1n?3?1的和 2nn?1?n?1??23、将函数f(x)?ln?1?x?2x2?展开为x的幂级数，并求f(n?1)?0?

n2?1n4、求?nx的和函数

n?02n!?5、

已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?xn?1ex，n为正整数，且fn(1)?，求

?en函数项级数?fn?x?的和函数.

n?16、

设有方程xn?nx?1?0，其n中为正整数，证明此方程存在唯一

??正根x0，并证明当??1 时，级数?xn收敛.

n?1四、证明题

设an??tannxdx （1） 求??an?an?2?

（2） 试证：对任意常数??0，级数?an收敛 ?nn?1?π401n?1n??111提示：?an?an?2??，??an?an?2??1.

nn?n?1?n?1n?1111?an,所以an???,??????1 n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2第十一章 无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A； 2、D；3、B；4、C；5、B. 二、

1、1；2、??4,2?；3、；4、三、

1、答案：?0,6?. 2、答案：?ln2

xn1提示：原式为级数?2的和函数在x?点的值.

2n?1?n?1??322π；5、cos1?sin1. 358341?xn1?xnxn1?xn1?xn而?2,分别求出?和?的和函????2n?12n?12n?2n?12n?2n?1n?2n?2n?2?n?1??数即可.

(?1)n?2n?1n?1?11?x,x???,? 3、答案：f(x)??n?1?22?n?0? f(n?1)(?1)n?2n?1. ?0??n!?n?1提示: f(x)?ln?1?x?2x2??ln?1?2x??ln?1?x?

xn2?1n?x2x?24、答案：?nx????1?e?1,???x???

n?02n!?42???n2?1n?n?x?1?x??提示：?nx???????， 2n!n?1!??2?n?1n!?2?n?0n?1??nn?11nx而xe??x,e??xn

n?1?n?1?!n?0n!x??5、答案：?fn?x???exln?1?x?,x???1,1?

n?1提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为fn(x)?ex ?n?1???xxxxxfn?x???e?e?，记S(x)??，则可得S(x)??ln(1?x)

n?1nn?1nn?1n?xn6、提示:设fn(x)?xn?nx?1,则fn?(x)?0,?x?0?,故fn(x)在?0,???内最多有一个正根.而fn(0)??1?0,fn(1)?n?0,所以有唯一正根x0.由方程xn?nx?1?0知,

n?1?x01?0?x0??,故当??1 时，级数?xn收敛.

nnn?1?111四、提示：?an?an?2??，??an?an?2??1.

nn?n?1?n?1n?1111?an,所以an???,??????1 n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2第十章 曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题 1、已知

?x?ay?dx?ydy为某二元函数的全微分，则a等于( ) 2?x?y?(A) ?1; (B) 0; (C) 1; (D) 2.

2、设闭曲线c为x?y?1的正向，则曲线积分??c?ydx?xdy的值等于

x?y( )

(A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6.

3、设?为封闭柱面x2?y2?a2?0≤z≤3?，其向外的单位法向量为

rn??cos?,cos?,cos??，则ò???xcos??ycos??zcos??ds等于( )

?(A) 9πa2; (B) 6πa2;; (C) 3πa2; (D) 0.

?x2?y2?z2?a24、设曲线c为?，则?xds等于( ) ??x?y?z?0c

(A) 3a2; (B) 0; (C) a2; (D) a2.

5、设?为下半球z??a2?x2?y2的上侧，?是由?和z?0所围成的空间闭区域，则??zdxdy不等于( )

?13 (A) ????dv; (B) ?0d??0a2?r2rdr;

?2πa(C) ??0d??0a2?r2rdr; (D) ???z?x?y?dxdy.

?2πa二、填空题

21、设c是圆周x2?y2?a2，则???x?y?ds?( )

currr2、设质点在力F??y?3x?i??2y?x?j的作用下沿椭圆4x2?y2?4的逆时

ur针方向运动一周，则F所做的功等于( )

3、设?是平面x?y?z?6被圆柱面x2?y2?1所截下的部分，则??zds等

?于( )

4、设?是球面x2?y2?z2?1的外侧，则ò???x?x2?y?z2223?dydz等于( )