5、设?c?2xf(x)ydx?f(x)dy与路径无关，其中f?(x)连续且f(0)?0，则1?x2f(x)?( )
三、计算与应用题
xy?esiny?bx?ydx?ecosy?ax?dy，1、求I??L?其中a,b为正常数，L为?????从点A?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点O?0,0?的弧.
?x2?y2?z2?a22、计算I??Lyds，其中L为圆周?.
x?y?z?0?urrrr3、在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球
2urx2y2z2面2?2?2?1上第一卦挂线的点M??,?,??，问?,?,?取何值时，力Fabc所做的功W最大？并求出W最大值.
x2y24、设S为椭球面??z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S，π为S在
22点P处的切平面，??x,y,z?为点O?0,0,0?到平面π的距离，求
??Szds.
??x,y,z?2y25、求I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy，其中?为曲面z?1?x??0≤x≤1?4?的上侧.
6、设对于半空间x?0内任意光滑有向闭曲面S，都有，
ò??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?eSx?0?2xzdxdy?0，其中函数f(x)在?0,???内具有
连续的一阶导数，且limf(x)?1，求f(x).
exx答案：f(x)??e?1?
x提示：由题设和高斯公式得
由S的任意性，知xf?(x)?f(x)?xf(x)?e2x?0，解此微分方程即可. 四、 证明题
已知平面区域D???x,y?0≤x≤π,0≤x≤π?，L为D的正向边界，试证：
siny?sinx?sinysinx（1）蜒xedy?yedx?xedy?yedx； ??LLsiny?sinx（2）π2≤??xedy?yedx
L52第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示
一、
1、D；2、C；3、A；4、B；5、B. 二、
1、?πa3；2、?4π；3、63π；4、π；5、三、
?23?21、答案：I????ab?a. 22??ππ431. 1?x2提示：添加从O?0,0?沿y?0到点A?2a,0?的有向直线段L1，然后用格林公式. 2、答案：I?2π3a. 31a3ds. ??3L提示：利用变量“对等性”I??Ly2ds??Lx2ds??Lz2ds?3、答案：?? Wmax?abc,??,?? 3333abc. 9提示：直线段OM:x??t,y??t,z??t，t从0变到1，功W为
x2y2z2 再求W????在条件2?2?2?1下的最大值即可.
abc4、答案： ??Sz3ds?π.
??x,y,z?2提示：曲面S在点P?x,y,z?处的法向量为?x,y,2z?，
切平面方程为：X?Y?zZ?0，
?xy2?π点O?0,0,0?到平面的距离??x,y,z?????z?.
?44?22?12x2y25、答案：I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy?π.
?y2提示：添加曲面?1为平面xoy上被椭圆x??1?0≤x≤1?所围的下侧，
42在?和?1所围封闭曲面上用高斯公式.
注意到在I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy的积分等于??3xydxdy为0.
?1D6、提示：
（1） 左边=?0πedy??ππesinyππ0?sinxdx?π??esinx+e?sinx?dx，同理，
0π右边=π?0?esinx+e?sinx?dx （2） 由（1）得??xedy?yesinyL?sinxdx=π??esinx+e?sinx?dx，而由esinx和e?sinx泰
0π勒展开式知道
π??2?sin2x?dx≤π??esinx+e?sinx?dx，
00ππ而π?0?2?sin2x?dx?π2.
第九章 重积分测试题
一、选择题
1、若区域D是xoy平面上以(1,1)，(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限中的部分，则??(xy?cosxsiny)dxdy?( ).
Dπ52(A) 2??cosxsinydxdy;(B) 2??cosxsinydxdy
D1D(C) 4??(xy?cosxsiny)dxdy(D) 0
D12、设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(x,y)dxdy，其中D是xoy平面上由
Dy?0,y?x2 和x?1所围区域，则f(x,y)等于( ).
(A) xy; (B) 2xy; (C) xy?1 ; (D) xy?
3、设I1???cosx2?y2dxdy,I2???cos(x2?y2)dxdy,I3???cos(x2?y2)2dxdy,其
DDD18中D???x,y?x2+y2≤1?，则( ).
(A) I3?I2?I1; (B) I1?I2?I3; (C) I2?I1?I3 ; (D)
I3?I1?I2
4、设空间闭区域?由x2?y2?z2≤1及0≤z确定，?1为?在第一挂限的部分，则( ).
(A) ???xdv?4???xdv; (B) ???ydv?4???ydv;
??1??1(C) ???zdv?4???zdv; (D) ???xyzdv?4???xyzdv
??1??15、设空间闭区域???x,y,z?x2+y2≤z≤2?x2-y2，I????zdv，则
???下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A)
2π0π40I??d??rdr?200r202π12?r2zdz; (B)
I??d??d???cos???2sin?d?;
(C) I??0πzdz??1πz(2?z)dz; (D) I?4?0dx?0221211?y2dy?22?x2?y2x?y2zdz
二、填空题
?x2y2?1、设区域D为x?y≤R，则I????2?2?dxdy的值等于( )
ab?D?2222、设D???x,y?x2+y2≤1?，则limr?01πr2x??eD2?y2ln(1?x?y)dxdy的值等于
( )
3、积分I??0dx?xedy的值等于( ) 4、积分I?222?y2x?y2?z2≤R2???f(x2?y2?z2)dv可化为定积分??(x)dx，则?(x)等于
0R( ) 5、积分I?x2?y2?z2≤1???(ax?by)2dv的值等于( )
三、计算与应用题 1、求I???D?x2?y2?ydxdy，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所
?围的平面区域. 2、求I???e?Dmaxx2,y2?dxdy，其中D???x,y?0≤x≤1,0≤y≤1?.
?y2?2z3、计算I????(x?y?z)dv，其中?由曲线?绕z轴旋转一周而成
?x?0?22的旋转曲面与平面z?4所围的立体. 4、计算I????(x?z)dv，?由z=?1214yyx1yyxx2?y2及z=4?x2?y2确定.
5、计算I??dy?1edx??1dy?yedx.
226、设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足
2(x2?y2)方程z?h(t)?（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知
h(t)体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？ 四、证明题
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