设函数f(x)在?0,1?上连续，并设
111I??dx?f(x)f(y)dy?A2. 0x2?10f(x)dx?A，证明
第九章 重积分测试题答案与提示
一、
1、A；2、D；3、A；4、C；5、B. 二、
?x2y2?πR214π1、?2?2?；2、1；3、?1?e?4?；4、4πx2f(x2)；5、?a2+b2?.
215b?4?a三、 1、答案：I?16?3π-2?. 9提示:将D看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：I?e?1
提示：为确定max?x2,y2?，必须将D分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：I?256π 3提示:旋转曲面的方程为x2?y2?2z,用柱面坐标计算
I??d??02π220rdr?r2(r2?z)dz即可.
244、答案：I?.
提示: ???xdv?0, ???zdv?4?d??d??0?cos???2sin?d?.
??π20π401π85、答案：I?3ee?. 82提示：交换积分次序. 6、答案：t?100小时
提示：先利用三重积分求出雪堆的体积
V??h(t)0dz1x2?y2≤?h2(t)?h(t)z??2???dxdy?π3h(t)； 4 再求出雪堆的侧面积S?21x?y≤h2(t)22??221?zx?zydxdy?13π2h(t)； 12由题意得结果.
dVdh(t)13??0.9S，所以??，解出h(t)并令其等于0，则可dtdt10四、提示：交换积分次序，
并利用?0dy?0f(x)f(y)dx??0dx?0f(x)f(y)dy?1y1x111dxf(x)f(y)dy. 2?0?0第八章 多元函数微分法及应用测试题
一、选择题
1、已知函数f(x)在??1,1?上连续,那么
?sinxf(t)dt?( ). ?cosy?x (A)f(sinx)?f(cosy) (B)f(sinx)cosx?f(cosy)siny (C) f(sinx)cosx; (D) f(cosy)siny
fx(x,y)?fy(x,y)?0是f(x,y)?c2、在矩形域D:x?x0??,y?y0??内，（常
数）的（ ）.
(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件
3、若函数f(x,y)在区域D内的二阶偏导数都存在，则（ ）
（A） fxy(x,y)?fyx(x,y)在D内成立； （B）fx(x,y),fy(x,y)在D内连续；
（C） f(x,y)在D内可微分； （D）以上结论都不对
4、lim2xy的值为（ ）
x?03x4?y2y?023(A)? ； (B) 不存在； (C) ； (D) 0.
5、设有三元函数xy?zlny?exz?1，据隐函数存在定理，存在点?0,1,1?的
一个邻域，在此邻域内该方程（ ）.
（A）只能确定一个具有连续偏导的隐函数z?z?x,y?；
（B）可确定两个具有连续偏导的隐函数z?z?x,y?和y?y?x,z?； （C）可确定两个具有连续偏导的隐函数z?z?x,y?和x?x?y,z?； （D）可确定两个具有连续偏导的隐函数x?x?y,z?和y?y?x,z?.
二、填空题
1、设f(x,y)?exycos(x)?(y?1)arctan2?x,则fx(1,1)的值为（ ）. y2、设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)?1,fx?(1,1)?a,fy?(1,1)?b，令
?(x)?f?x,f?x,f(x,x)??，则??(1)的值为（ ）.
3、设f(x,y,z)?exyz2，其中z?z(x,y)是由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，
则fx?(0,1,?1)?（ ）.
?x2?y2?z2?34、曲线?在点M?1,1,1?处的切线方程为（ ）.
?x?2y?z?05、函数u?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z在点O?0,0,0?处 沿（ ）方向的方向导数最大？ 三、 计算和应用题
1、设?axy3?y2cosx?dx??1?bysinx?3x2y2?dy为某一函数f(x,y)的全微分，求
a和b的值
2、设z?f?x?y,x?y??g?x?ky?，f,g具有二阶连续偏导数，且g????0，
?2z?2z?2z??，求常数k的值. ?2?4f22如果2?2?x?x?y?yx2y2z23、在椭球2?2?2?1内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是
abc多少时长方体的体积最大?
4、设y?g(x,z)，而z是由方程f(x?z,xy)?0所确定的x,y的函数，求
dz dx5、设f(x,y)有二阶连续偏导数, g(x,y)?f(exy,x2?y2), 且
f(x,y)?1?x?y?o((x?1)2?y2), 证明g(x,y) 在(0,0)取得极值, 判断
此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.
6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为D???x,y?x2+y2-xy≤75?，小山的高度函数为
h(x,y)?75?x2?y2?xy
（1） 设M0?x0,y0?为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么
方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式.
（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡
度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.
四、 证明题
设F(u,v)可微，试证曲面F(定点.
第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示
一、
1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.
二、
x?ay?b,)?0上任一点处的切平面都通过z?cz?c1、?πe；2、a(1?b?b2)?b3；3、1；4、x?1?y?1?z?1；5、
210?1rrrgraduo?3i?2j?6k.
三、
1、答案：a?2,b??2.
???fyx??这一条件. 提示： 利用fxy2、答案：k??1. 提示:
?z?z??f1??f2??kg?， ?f1??f2??g?，?y?x?2z?2z???2f12???f22???g??，2?f11???2f12???f22???k2g??， ?f112?x?y?2z?2z?2z?2z???f22???kg??，2?2???1?2k?k2g??， ??f11?2?4f22?x?y?x?y?y?x??2又因为g????0，所以1?2k?k?0，k??1.
3、答案：232323a,b,c. 333提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为?x,y,z?，则求体积
x2y2z2V?8xyz在条件2?2?2?1下的极值就可.
abc4、答案：
?dzf1??yf2??xf2?g1?.
???dxf1?xf2g25、答案：故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值.
提示：由全微分的定义知 f(1,0)?0 fx?(1,0)?fy?(1,0)??1
?(0,0)?f1?(1,0)??1 A=g?x?(0,0)?2f2?(1,0)??2 B?g?xy2 AC?B2?3?0, 且A?0, 故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值. 6、答案: g(x0,y0)??y0?2x0???x0?2y0??5x02?5y02?8x0y0 攀登起点的位置: M1?5,?5?,M2??5,5?.
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