圆的内接三角形和四边形 习题集(2014-2015)-教师版

圆的内接三角形和四边形 课堂练习

一、三角形

【例1】如图所示，?ABC内接于⊙O，若?OAB?28?，则?C的大小是（ ）

C

OABA．56? B．62? C．28? D．32?

【答案】B

【解析】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和

圆有关的题目是往往要添加圆的半径．

COAB

解：如图，连接OB，

∵OA?AB，∴?AOB是等腰三角形， ∴?OAB??OBA， ∵?OAB?28?，

∴?OAB??OBA?28?， ∴?AOB?124?， ∴?C?62?．

【例2】如图所示，点A、B、P在⊙O上，且?APB?50?．若点M是⊙O上的动点，要使?ABM为

等腰三角形，则所有符合条件的点M有（ ） A．1 个 B．2 个 C．2 个 D．4个

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OPAB

【答案】D

【解析】?APB?50?,?弦AB不是直径，?APB不是等边三角形．

（1）当MA?MB时，?MAB是等腰三角形，这时M点是弦AB的垂直平分线与圆O的交点，有两个；

（2）当AB?AM时，这样的M点只有一个．

（3）当AB?MB时，这样的M点只有一个．综上可得符合条件的点M有4个．

【例3】如图，已知⊙O的半径2，弦BC的长为23，点A的弦BC所对优弧上任意一点（B、C两点

除外）．

（1）求?BAC的度数； （2）求?ABC面积的最大值．

AOBC

【答案】（1）60? （2）33 【解析】考查学生的应用能力，圆中求角（线段）常转化为直角三角形解决．利用垂径定理的构造直角三

角形，把已知条件结合在一块．（可以利用特殊角用勾股定理直接求）

（1）连结OB、OC，过O作OE?BC与点E．解Rt?OBE,求?BOE,?BOC的度数，

1?BOC.或连结BO并延长，交⊙O于D，连结CD，解Rt?BCD,求?D． 21（2）S?ABC?BC?h（h是BC边上的高），BC不变，当h最大时，S?ABC最大，此时

2点A应落在优弧BC的中点处，然后再求h．

解：（1）方法一：如图，连结OB、OC，过O作OE?BC交BC于点E．

?A?OE?BC,BC?23,?BE?EC?3．在Rt?OBE中，OB?2，

sin?BOE?1BE3,??BOE?60?,??BOC?120?,??BAC??BOC?60? ?2OB2

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AO

CBE方法二：如图，连结BO并延长，交⊙O于点D，连结CD.

BD是直径，?BD?4,?DCB?90?．在Rt?DBC中，sin?BDC???BDC?60?,??BAC??BDC?60?．

BC233 ??BD42ADOC

B（2）因为?ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，?ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．

如图，过O作OE?BC于点E，延长EO交于点A，则A为优弧BC的中点．连结AB，AC，则AB?AC，?BAE?1?BAC?30?．在Rt?ABE中， 2BE?3,?BAE?30?,?AE?BE?tan30?3?3, 331?S?ABC???3?3?33．

2AOECB

【例4】已知，如图，在?ABC中，AB?AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,连结EB交OD于点F．

（1）求证：OD?BE；

（2）若DE?5,AB?5,求AE的长．

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CEDFAOB

【答案】（1）略 （2）3 【解析】（1）联结AD

∵AB是⊙O的直径，??ADB??AEB?90?,

AB?AC,?CD?BD．

OA?OB,?OD∥AC,OD?BE．

（2）方法一：

?CEB??AEB?90?，CD?BD,AB?5,DE?5．

?AC?AB?5,BC?2DE?25．在?ABE、?BCE中，?CEB??AEB?90?，

设AE?x，则有AB2?AE2?BC2?EC2，52?x2?(25)2?(5?x)2 解得：x?3，?AE?3 方法二：

OD?BE,?BD?DE,BF?EF． 设AE?x,?OF?1x，在?OBF、?BDF 2中，?OFB??BFD?90?．?BD2?DF2?OB2?OF2．∵DE?5，AB?5，

51(5)2?(?x)2，解得：x?3,?AE?3．

2211方法三：BE?AC,AD?BC,?s?ABC?BC?AD?AC?BE，BC?AD?AC?BE，

22BC?2DE?25,AC?AB?5．?BE?4,?AE?3．

CEDFAOB

【例5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，D为劣弧BC的中点，H为劣弧AB的中点．连接CH，交ABH?HG于点E，连接AD，交CH于点G，延长CH到点M，使MK?AG，延长DA到点K，使A，

CA的延长线交MK于点F．

求证：（1）?MGK??MKG；

（2）ME?MF．

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