圆的内接三角形和四边形.习题集(2014-2015)-教师版

DCBOEHMAKMHBGDCOEAKGF【答案】连接AH

∵GH?MH，AG?AK， ∴AH∥MK， ∴?HAG??MKG，

F

∵D是劣弧BC的中点，H是劣弧AB的中点， ∴CD?BD，BH?AH，

∴?CAD??BAD，?BCH??ACH??BAH，

∴?MGK??ACH??CAD??BAD??BAH??HAG??MKG． ∵?CAD??FAK??BAD，∴△AEG≌△AFK， ∴EG?FK，

∴MG?EG?MK?FK，即ME?MF．

【例6】 如图，△ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结

EC、BD．若△BEC与△BDC的面积相等，试判定△ABC的形状．

（山东潍坊中考）

AED

BC【答案】方法一：连接DE

∵S△BEC?S△BDC，∴DE∥BC，

∴BE?CD，∴四边形BCDE是等腰梯形，

∴?ABC??ACB，∴AB?AC，∴△ABC是等腰三角形． 方法二：∵S△BEC?S△BDC，∴S△ABD?S△ACE， 可知△ABD和△ACE的相似比为1， ∴AB?AC，∴△ABC是等腰三角形．

CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连结AD、BD，已知AD?BD?4，PC?6，【例7】 如图，AB，求CD的长．

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COAPDB 【答案】连结AC

∵AD?BD，∴AD?BD， ∴?ACD??ABD??BAD，

ADPD∴△APD∽△CAD，∴，即AD2?PD?CD， ?CDAD∴PD?CD?16，

又PC?CD?PD?6，∴PD?CD?6， ∴CD2?6CD?16?0，解得CD?8（舍负）．

【例8】 如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

（1）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF?AD； CD?6，求OP的长． （2）若AB?8，（湖北荆门中考）

CFAEPODB【答案】（1）∵AB?CD，∴?BPD??BPC?90?，

1∵F是BC中点，∴PF?BC?BF，

2∴?BPF??PBF，

∵?ADC??PBC，∴?ADP??BPF

∵?DPE??BPF?90?，∴?ADP??DPE?90?， ∴?DEP?90?，即EF?AD．

ON?CD，垂足分别为M、N （2）过O点作OM?AB，CN?3， 由垂径定理得AM?4，∴OM?2，ON?11， 易证得四边形OMPN是矩形， ∴OP?OM2?ON2?15．

CAEPNDFMOB

二、四边形

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【例9】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若?BAD?105?，则?DCE的

大小是（ ）

DABCE

A．115? B．105? C．100? D．95?

【答案】B

【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角

相等．

解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴?BAD??BCD?180?，而?BCD??DCE?180?， ∴?DCE??BAD，而?BAD?105?， ∴?DCE?105?．

【例10】已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，?D?50?，则?ABC等于（ ）

A．100? B．110? C．120? D．130?

【答案】D

【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角

相等．

解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴?ABC??D?180?∵?D?50? ∴?ABC?180???D?130?．

、B、C、D四点构【例11】已知AD是⊙O的直经，AB、AC是弦，若AD?2，AB?3，AC?2，求由A成的四边形的周长．

【答案】（1）如图1，弦AB、AC在直径AD的异侧，连结BD、CD．

∵AD是直径，∴?B??C?90?， 在Rt△ABD中，BD2?AD2?AB2， 则BD?22???322?1，

在Rt?ACD中，CD2?AD2?AC2， 则CD?22???2?2，

∴四边形周长为AB?BD?CD?AC?3?1?2?2?1?3?22．

BAODC图1

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（2）如图2，弦AB、AC在直径AD的同侧，连结CB、BD、CD， 过C点作CE?AB于E．

∵AD是直径，∴?ACD??ABD?90? 在Rt?ABD中，BD2?AD2?AB2， 则BD?22???322?1，

在Rt△ACD中，CD2?AD2?AC2， 则CD?22???2?2，

∴AC?CD，∴?CAD??CDA?45?，∴?ABC??ADC?45?， ∵CE?AB，∴?CEB?90?，∴?ECB?45?，∴CE?EB． 设CE?EB?x，则AE?3?x， 在Rt△ACE中，AE2?CE2?AC2， 即

?3?x?x??22?2?，整理得2x22?23x?1?0，解得x?3?1， 2∵CE?AE，∴CE?∴BC?2CE?3?1， 26?2， 26?26?2． ?1?2?3?22CEAODB∴四边形周长AC?CB?BD?AD?2?图2

【例12】如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB?AC，点M是弧BC的中点，MH?AB于点H．求证：

BH?1?AB?AC?． 2AHBMC【答案】在AH上截取NH?BH，连接AM、MN，

∵MH?AB，NH?BH，∴BM?MN， ∴?B??BNM，

∵M是BC的中点，∴BM?CM，∴BM?CM，?BAM??CAM， ∴△AMN≌△AMC，∴AN?AC，

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