圆的内接三角形和四边形 习题集(2014-2015)-教师版

∴2BH?BN?AB?AN?AB?AC，即BH?1?AB?AC?． 2ANHBMC

?BAC与?ABC的平分线相交于点I，【例13】如图所示，圆O是△ABC的外接圆，延长AI交圆O于点D，

连结BD、CD．

（1）求证：BD?CD?DI；

（2）若圆O的半径为10cm，?BAC?120?，求△BDC的面积．

AIBOCD【答案】（1）∵AD平分?BAC，∴?BAD??CAD，

∴BD?CD，∴BD?CD．

∵?DBC??DAC，∴?BAD??DBC， ∵BI平分?ABC，∴?ABI??CBI， ∴?BAD??ABI??DBC??CBI，

∵?BAD??ABI??BID，∴?DBI??BID， ∴BD?DI，∴BD?CD?DI． （2）连结BO、DO

∵?BAC?120?，∴?BAD?60?， ∴?BOD?120?，∴?BCD?60?， ∵BD?CD，∴△BCD是等边三角形 ， ∵BO?DO?10cm，∴BD?103cm， ∴S△BCD?3?1034

??2?753cm2．

AIBOCD

1【例14】已知四边形ABCD内接于O，对角线AC?BD，F为线段AB的中点．求证：OF?CD．

2

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DAOFCB【答案】证法一：如图，设四边形ABCD内接于圆O，且AC?BD，OF为AB之弦心距．

作CD的弦心距OE，连接OB、OC． 1显然?OCE?90???EOC?90??DC的度数．

2∵AC?BD，

∴AB?DC?180?， 1∴?OCE?AB．

2m1?BOF?AB， 又

2∴?OCE??BOF．

m∵OC?BO，

∴Rt△OCE≌Rt△BOF． ∴CE?OF，即OF?1DC． 2DAOFBCE

证法二：如图，作直径AE，连接BE、CE． ∵O、F为中点，∴BE?2OF． ∵CE?AC，BD?AC，∴CE∥BD， ∴BE?DC，∴BE?DC． 即2OF?DC，∴OF?1DC． 2DEAOFBC

证法三：如图，设AC、BD交于P，E为DC之中点．连接EP延长垂直AB于G． 连接FP延长必垂直DC于H．连接OE． ∵OE?DC，FH?DC，∴FH∥OE，

同理EG∥OF．∴PFOE为平行四边形，∴OF?EP．

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1DC（∵EP是Rt△CDP斜边上的中线）， 21∴OF?DC．

2而EP?D

H

E

C

AGF

B

O

CD?3，如图，AB?CD?BC?AD，则【例15】已知圆内接四边形ABCD中AB?11，BC?9，AD?__________．

DC3911AB【答案】连接AC，BD，

由AB?CD?BC?AD， 知AB?CD?180?，AC?BD，

因而AD2?BC2?AB2?CD2，AD2?112?32?92?49，AD?7．

【例16】已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将?BAC绕顶点A逆时针旋转?°

（0???45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC,CD于点E、点F，联结EQ．在

?BAC的旋转过程中，?AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范

围（不必证明）；

ADQPBEFC【答案】不变．?EAF??CBD?45?， A、B、E、Q四点共圆

（选讲）

【例17】已知：如图，⊙O的内接△ABC中，?BAC?45?，?ABC?15?，AD∥OC并交BC的延长线于D，

OC交AB于E．

（1）求?D的度数；

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（2）求证：AC2?AD?CE； （3）求

BC的值． CD（西城初三上期末）

OBECAD【答案】（1）连结OB，

∵⊙O的内接△ABC中，?BAC?45?， ∴?BOC?2?BAC?90?，

∵OB?OC，∴?OBC??OCB?45?， ∵AD∥OC，∴?D??OCB?45?．

FOEBCAD

?D?45?，∴?BAC??D， （2）∵?BAC?45?，

∵AD∥OC，∴?ACE??DAC， ∴△ACE∽△DAC，∴∴AC2?AD?CE．

（3）解法一：延长BO交DA延长线于F，连结OA． ∵AD∥OC，∴?F??BOC?90?，

∵?ABC?15?，∴?OBA??OBC??ABC?30?．

?OAF?30?， ∵OA?OB，∴?FOA??OBA??OAB?60?，ACCE?， DAAC1∴OF?OA，

2∵AD∥OC，∴△BOC∽△BFD，∴∴

BCBO?， BDBFBCBOOABC???2，即的值为2． CDOFOFCDOEBMCAD解法二：作OM?BA于M，设⊙O的半径为r， 易得?OBM?30?，BM?

3rr，OM?，且?MOE?30?， 22Page 12 of 17

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