机械振动课程期终考试卷-答案

即：V(?2)?(2k??2I)(4I2?4?10kI?2?2k2)?0 解得：?2?(5?17)k和?2?2k

4II所以：?1?(5?17)k??2?2k??3?(5?17)k ………… (c)

4Im4I将（c）代入（b）可得：

?5?17k)gI?2k?(4I???k???0????k2k?(5?17k)g4I4I?k????u1? ????k??u2??0??u?5?17k??3?2k?()gI?4I??0

k?2k?2gI?I?和??k???0???kk2k?2g4II?k????u1???u??0 ?k??2??u???3?k2k?2gI?I??0解得： u11:u21:u31?1:1.78:1；

（或 u11:u21:u31?1:3?17:1） 4u12:u22:u32??1:0:1； u13:u23:u33?1:?0.28:1；

（或or u11:u21:u31?1:

系统的三阶振型如图：

、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和r2、m2、I2。轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧，轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为m的物体，求：

1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 选取广义坐标x或θ；

确定m的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m的位移与摩擦轮转动的弧

3?17:1） 4r1m1 图I11 o1m2 I2o2r2km长及弹簧的变形量相等）；，

写出系统得动能函数Et、势能函数U； 令d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度 求出?n?k，进一步求出T

I1I2m?2?2r1r2I1kr1kr2I2、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I1＝I2，扭转刚度Kr1＝Kr2。

1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分） 令I1?I2?I,kr1?kr2?kr 1）略 2）

?K??kr??2?1??10? ??,M?I?????11??01?3?5kr3?5kr2 ?n2?

2I2I23）频率：?n1??5?1?1???0.61824）振型矩阵：?u??????5?1??1?1??2???、（15分）根据如图所示微振系统，

1?

?0.618??1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分）

图3

3??2频率方程： ?(?2)?kmk?12?2?2?1mk0?13??2mk?0

?10m2mm)(2??2)?2(3??2)?0 kkkkkk222固有频率：?1?(2?2) < ?2?3 < ?3?(2?2)

mmm即：(3??2

?2?111??0.41411????

振型矩阵： ?u???101?2???10?0.414???2?1?1?1?1?????0.414?11．用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。摆锤质量为m，各个弹簧的刚度为k2，杆重不计。（本小题10分）

题三 1 题图

解：（1）确定系统任一时刻势能和动能的表达式

任一时刻系统的动能为：ET?任一时刻系统的势能为：

1?m(lA?)2

2U?（2）根据能量法的原理

12K(lBsin?)2?2?mglA(1?cos?) ?KlBsin2??mg(1?cos?) 2d?ET?U??0求解系统运动的微分方程和系统固有频率

dtd(ET?U)2?2?????mlA???2KlB?sin?cos??mglA?sin??0

dt

?微小振动时: cos??1sin???，且?不总为零，因此可得系统自由振动的微分方程为：

2?2mlA???(2KlB?mglA)??0

系统固有频率为：

?n?22klB?mglA?2mlA22?2gklB?gmglAg?2klB?? ??12??mglAlA?WlA?2． 试证明：单自由度系统阻尼自由振动的对数衰减率可用下式表示：

??1X0ln nXn式中：Xn是经过n个循环后的振幅。并计算阻尼系数??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数。

解：对数衰减率?为相隔两个自然周期的两个振幅之比的自然对数，所以：

ln?X0X1X0Xn?1?X0Xn?1X1??ln??????ln?ln???ln?n? ??XnXn?X1X2Xn?X1X2 所以：??1X0ln nXn单自由度系统阻尼自由振动的响应为：

x?Xe???0tsin??dt???

t=0时刻与nTd时刻（即n个自然周期后的时刻）的两个振幅之比为：

X02?2?Xe0sin??????0?nT?en??0Td，其中：Td?

2?d?01??XnXesin??d?nTd???X0Xesin?????0?nT?en??0T?eXnXesin??d?nT???X0?2?eXn2n??1??202n??1??2

1??2ln2?2?n?

2?? 由此计算出??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数应满足：

n?11.03

取整后得所需的循环数为12。

3．如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求M的振幅与水平行进速度v的关系。（本小题10分）

题三 3 题图

解：根据题意：不平道路的变化周期为：T?2??，且vT?L，

?v?2???L???2?v L对质量元件M进行受力分析，可得如下振动微分方程：

???m?x??k?x?y??m?x?kx?ky?m?x?kx?kYcos?t

22???x??nx??nYcos?t?x?Y??1?????n????2cos??t?

所以振幅与行进速度之间的关系为：

X?Y??1?????n????2kL2Y??2 222kL?4?mv?2?v?m1???L??kY22?x??nx??nYcos?nt 当???n时，?1此时： x?Y?ntsin?nt

21振幅X?Y?nt将随时间的增加而增大，所以???n时所对应的行进速度为最不利的

2行进速度，此时：

???n?2?v?LkL?v?m2?k——最不利的行进速度。 m4．如图所示扭转振动系统，已知各圆盘转动惯量为I1=2I2=2I，各轴段的扭转刚度为kt2=kt1=kt，求该系统的固有频率和固有振型。（本小题15分）