§2.1 函数及其表示
最新考纲 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数
2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √ ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f(x)＝
4－x的定义域是________． x－1
答案 (－∞，1)∪(1,4]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)
112
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝x.
233答案 ③
28
解析 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝?Q，所以③不是从P到Q的函数．
335．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝____________. 答案 x－1(x≥0)
解析 令t＝x，则t≥0，x＝t，所以f(t)＝t－1(t≥0)，即f(x)＝x－1(x≥0)．
2
2
2
2
?1－x，x≥0，
6．设f(x)＝?x?2，x<0，
1答案
2
则f(f(－2))＝________.
1－2
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2＝>0，
4
?1?所以f(f(－2))＝f??＝1－?4?
111＝1－＝. 422
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________． 答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2， 满足x>0，
所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．
122(2)函数f(x)＝lnx－3x＋2＋－x－3x＋4的定义域为________________．
x答案 [－4,0)∪(0,1)
x≠0，??2
解析 由?x－3x＋2>0，
??－x2－3x＋4≥0，
4,0)∪(0,1)．
解得－4≤x<0或0 (3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数g(x)＝A．[－1,2 019] C．[0,2 020] 答案 B f?x＋1? 的定义域是( ) x－1 B．[－1,1)∪(1,2 019] D．[－1,1)∪(1,2 020] 解析 使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的 ??－1≤x≤2019， 定义域为[－1，2 019]．所以函数g(x)有意义的条件是? ?x－1≠0，? 解得－1≤x<1 或1 本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]”，则函数g(x)＝答案 [－2,1)∪(1,2 018] f?x＋1? 的定义域为________． x－1 解析 由函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 019]， ??－1≤x＋1≤2019，令???x≠1， 则－2≤x≤2018且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数的值或范围 例2 (1)若函数f(x)＝ax＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． 9答案 － 2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax＋abx＋b≥0的解集．不等式ax＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}， 2 2 2 a<0， ??1＋2＝－b，所以? b1×2＝，??a 3??a＝－，2解得???b＝－3， 39 所以a＋b＝－－3＝－. 22 (2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________． ?11?答案 ?－，? ?22? 解析 函数f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤111?11?－a，即0≤a≤；当a<0时，应有－a≤1＋a，即－≤a<0.所以a的取值范围是?－，?. 22?22?思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域 即得f(x)的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． ?1?2跟踪训练1 (1)函数y＝ln?1＋?＋1－x的定义域为________． ? x? 答案 (0,1]
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