多元函数微分学及其应用

第九章 多元函数微分学及其应用

第五节 隐函数的求导公式

1．设方程xy?x?y?2确定了隐函数y?y(x)，求

2222dz?dy． dxcos(x?y?z)?1cos(x?y?z)dx?dy

cos(x?y?z)?1cos(x?y?z)?1?xy3．设方程e?e?z解:（公式法）令F(x,y)?xy?x?y?2，Fx?y?2x

解:令F(x,y,z)?e?z?2z?2z确定了隐函数z?z(x,y)，求，2．

?x?x?xyFy?x?2y，

则

?e?z?2z，Fx??yexy

Fy?2xdy， ??x??Fyx?2ydx，Fz??e?2 则

z提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。

2．设方程sin(x?y?z)?z?x确定了隐函数z?z(x,y)，求

F?z??x??ye?xy(e?z?2)，

Fz?x?z?z，，?x?y?2zy2e?xy[(e?z?2)2?e?(z?xy)]=． 2?z3?x(e?2)4．设隐函数z?z(x,y)由方程F(x?dz．

解（公式法）:令F(x,y,z)?sin(x?y?z)?z?x，Fx?cos(x?y?z)?1

zz,y?)?0所确定，证明yxx?z?z?y?z?xy． ?x?yFy?cos(x?y?z)，Fz??cos(x?y?z)?1

FyFxcos(x?y?z)?1?zcos(x?y?z)?z??则，=? ??Fzcos(x?y?z)?1Fzcos(x?y?z)?1?y?x证明：Fx?F1??zF2? 2xFy?-z11???F?FF?F?F2?, ，12z12yxy 9

第九章 多元函数微分学及其应用

zz?F?F1??F2222FFx?z?zyyx,=?, ??????1111FzFz?y?xF1??F2?F1??F2?F1???v?2?u3u?v?x?0??u?3v3?x?v3u2?yv??x?x故=22，=22 ??x9uv?xy?x9uv?xy?3v2?v?y?u?1yxy故x?z?x?y?z?y?z?xy．

5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：?x2?y2?z2(1)设??50?0，求dydz?x?2y?3z?4dx，dx．

解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：

???2x?2ydy?2zdz?dxdx?0 ???1?2dydx?3dzdx?0故

dy?3x?zdz2xdx?3y?2z，dx??y3y?2z． (2)设??u3?xu?y，求?u，?u，?v，?v?v3?yu?x?x?y?x?y．

解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：

x???x?x?u3v2?xu?v?3u3同理可得到：?y=9u2v2?xy，?y=?y9u2v2?xy．

6．设y?f(x,t),而t是由F(x,y,t)?0所确定的x,y的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求

dydx． 解:联立方程组??y?f(x,t)F(x,y,t)?0两边直接对自变量x求偏导，得：

???dy???t?dx?fx?ft?x ???Fdy?tx?Fydx?Ft?x?0故

dyfxFdx?t?ftFxf tFy?Ft

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第九章 多元函数微分学及其应用

第六节 多元函数微分学的几何应用

1．求曲线x?解:用隐函数组求导的方法得到

t1?,y?sint,z?cost在对应t?的点处的切线方程和2xz?x0dydz， ??dx?y?2yzdx?y?2yz224法平面方程．

解:切向量T??(x?,y?,z?)12t?π?(42,2,?24) 曲线在对应t??4的点处的切线方程为：

x??8y?222z?1??42，法平面方程为：22?2412(x??22228)?2(y?2)?4(z?4)?0，即2x?22y?2z??34?2．

2．求曲线??x2?y2?z2?6在点M?z?x2?y20(1,1,2)处的切线方程及法平面方程．

点M??(1,dy0(1,1,2)处的切向量Tdx,dzdx)?(1,-1,0) M0曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为：

x?1y?11?-1?z?20，法平面方程为：x?y?0．

3．求曲面z?x2?y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程． 解: 法向量n??(zx,zy,?1)(1,1,2)?(2,2,?1)

故所求切平面方程为2(x?1)?2(y?1)?(z?2)?0即

2x?2y?z?2?0．

法线方程为：x?1y?1z?22?2?-1

4．求椭球面

x2?2y2?3z2?21上某点M处的切平面?的方

程，使平面?过已知直线L:x?6y?32z?12?1?-2． 11

第九章 多元函数微分学及其应用

解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，则切平面?的法向量

设向量s?????1直线L过点(6,3,)，且方向向量为l?(2,1,?1)， n?(2x0,4y0,6z0)，

2?????bc?,,1?，有n?s?0，即n?s， ?aa??，该直线就是所求平s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量（常向量）

行于切平面的定直线．

?4x0?4y0?6z0?0?1?故有?2x0(x0?6)?4y0(y0?3)?6z0(z0?)?0，

2?222?x0?2y0?3z0?21??x0?3?x0?1??解得?y0?0或?y0?2

?z?2?z?2?0?0所求切平面方程为x?2z?7或x?4y?6z?21．

注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面?的方程，同样可求得点

(x0y0,z0)，过程略．

5．设F(u,v)是可微函数，证明：曲面F(ax?bz,ay?cz)?0(abc?0)的切平面平行于某定直线．

证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量

?n?(aF1,aF2,?bF1?cF2)，

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