(新课标)2017高考数学大一轮复习第七章立体几何51空间角的求法课时作业理

课时作业51 空间角的求法

1．(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

解：(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴

AB⊥平面BCD.

又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.

(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．

由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，

∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以BE―→，BD―→，BA―→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，

A(0，0，1)，M(0，，)，

11则BC―→＝(1，1，0)，BM―→＝(0，，)，AD―→＝(0，1，－1)．

22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，

??→＝0，??n·BC―?则即?1 1?n·BM―→＝0，?y0＋z0＝0，?

11

22

x0＋y0＝0，

2

?2

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ，

则sinθ＝|cosn，AD―→|＝错误!＝错误!，

6

. 3

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为

2．(2015·广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，

CG＝2GB.

(1)证明：PE⊥FG；

(2)求二面角P－AD－C的正切值； (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值． 解：(1)证明：∵PD＝PC，E为DC的中点， ∴PE⊥DC.

又∵平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD， ∴PE⊥平面ABCD. 又∵FG?平面ABCD， ∴PE⊥FG.

(2)取AB中点H，连接EH，由(1)知PE⊥DC，PE⊥EH，由于四边形ABCD为矩形， 所以HE⊥DC，

故以EH、EC、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

故由PD＝4，AB＝CD＝6得EP＝7，即P(0，0，7)，D(0，－3，0)，A(3，－3，0)，

PD―→＝(0，－3，－7)，PA―→＝(3，－3，－7)．

设平面PAD的一个法向量为m＝(x，y，z)，

?→＝0，?－3y－7z＝0，?m·PD―

则?即? ?m·PA―→＝0，?3x－3y－7z＝0，?

?x＝0，解得?

?3y＝－7z.

令z＝3，则m＝(0，－7，3)．

而平面ABCD的一个法向量n＝(0，0，1)，

设二面角P－AD－C的平面角为θ，由图知θ为锐角，

|m·n|37

所以cosθ＝＝，∴tanθ＝.

|m|·|n|43

(3)由(2)知PA―→＝(3，－3，－7)，G(2，3，0)，F(3，1，0)， 所以GF―→＝(1，－2，0)． 设异面直线PA与FG所成角为α， 则cosα＝?＝

→??PA―→·GF―

?

→|·|GF―→|??|PA―

3×1＋（－3）×（－2）95

＝. 255×5

3．(2015·浙江卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，

A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

(1)证明：A1D⊥平面A1BC；

(2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值． 解：

(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥

AE.

因为AB＝AC，所以AE⊥BC.

A1E∩BC＝E且A1E，BC?平面A1BC，

故AE⊥平面A1BC.

由D，E分别为B1C1，BC的中点，得

DE∥B1B且DE＝B1B，

从而DE∥A1A且DE＝A1A， 所以A1AED为平行四边形． 故A1D∥AE.

又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.

(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB，EA1为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：A1(0，0，14)，B(0，2，0)，D(－2，0，14)，B1(－2，2，14)．

因为A1B―→＝(0，2，－14)，BD―→＝(－2，－2，14)，DB1―→＝(0，2，0)．

设平面A1BD的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的一个法向量为n＝(x2，y2，

z2)．

由?

?2y1－14z1＝0，

即?

?→＝0，?－2x1－2y1＋14z1＝0，?m·BD―

?m·A1B―→＝0，?

可取m＝(0，7，1)． 由?

?2y2＝0，

即?

?→＝0，?－2x2－2y2＋14z2＝0，?n·BD―

?→＝0，?n·DB1―

可取n＝(7，0，1)．

|m·n|1于是|cos〈m，n〉|＝＝.

|m|·|n|8由题意可知，所求二面角的平面角是钝角， 1

故二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值为－.

8

1．(2015·天津卷)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，

AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

(1)求证：MN∥平面ABCD； (2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；

1

(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成的角的正弦值为，求线段A1E的

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