高等数学(人资环学院)09-10学年第二学期期末试题(A)答案 2010.7
一、填空题(本题共有7道小题，每小题3分，共21分 )
1x3x?1. ?； 2. ?ln|x?1|?x,|x|?1,或?ln(1?x)?x，|x|?1； 223. (?1,5)； 4. 2； 5. 4； 6. 3y?z?8； 7. ?dy?02?y2211?1?y2f(x,y)dy .
注 ①第2小题第一个答案不加绝对值符号扣1分； ②第3小题区间表示不全对扣1分.
二、单项选择题（本题共有5道小题，每小题3分，共15分）
1.(D) 2.(A)3.(C) 4.(B) 5.(A)
三、按要求解答下列各题 (本题共有2道小题，每小题6分，共12分) 解 1. x??1,y??2x,,z??2,
点(0,0,1)切线的方向向量为{1,2x,2}(0,0,1) ?{1,0,2} (3分) 切线方程为 即 ?
x?0y?0z?1 ??102?2x?z?1?0 (3分)
?y?0???ijk???x?y?z?1?0?2. 直线?的方向向量为s?11?1??3j?3k,
?2x?y?z?4?02?11?x?1?在已知直线上取点(1,?2,0)，可得直线的参数方程为?y??2?3t，（1）
?z??3t?过点(1,2,1)作已知直线的垂直平面，其方程为?3(y?2)?3(z?1)?0，即y?z?3?0（2），(3分)
515，可得点(1,2,1)向已知直线所做的垂线的垂足为(1,,) 622?x?y?z?1?0153点(1,2,1)到直线?的距离为(1?1)2?(2?)2?(1?)2?2. (3分)
2x?y?z?4?0222?将（1）代入（2）得?2?3t?3t?3?0?t??
四、计算下列各题 (本题共有3道小题，每小题6分，共18分)
解1. 令F(x,y,z)?
1x?zxz?ln，Fx(x,y,z)?，Fz(x,y,z)??2，
zzzyF?zz， (4分) ??x??xFzx?z?2z?z?z2. (2分) ?()??x2?xx?z(x?z)3注 一个偏导数正确得1分. 2.
?z?f1cosx?f3ex?y， (2分) ?x?2z??f12cosxsiny?f13ex?ycosx?f32ex?ysiny?f33e2(x?y)?f3ex?y .(4分) ?x?y 1
高等数学(人资环学院)09-10学年第二学期期末试题(A)答案 2010.7
3.
?f?f?3,
?y?x(0,1,1)?2，
(0,1,1)?f?z?2， (4分)
(0,1,1) df(0,1,1)?3dx?2dy?2dz (2分) 注 一个偏导数正确得1分. 五、计算下列二重积分 (本题共有3道小题，每小题6分，共18分)
解1. D:0???2?,0?r?2， (2分)
rx2?y2?d?eed???rdr ??2?22D00 ?14?02(e?1)d?
??(e4?1) . (4分)
2?
2. D:y?a?x?y,a?y?3a， (2分)
??(xD2?y)d???dy?2a3a3ayy?a2(x2?y2)dx
2a3??(2ay?ay?)dy a3?14a4 . (4分)
3.
??|cos(x?y)|d?
D??2y??dy?40?y?cos(x?y)dx???2dx??[?cos(x?y)]dy (3分)
42?xx
?
?2?1. (3分)
六、应用题(本题共有2道小题，每小题8分，共16分)
解1. 设底长、宽分别为x、y高为z则容器的体积为
V?xyz
问题转化为求体积函数V?xyz在条件3xy?2xz?2yz?36下的最大值，（2分）
利用拉格朗日乘数法，作函数：
F(x,y,z,?)?xyz??(3xy?2xz?2yz?36)
?Fx?yz?3?y?2?z?0?F?xz?3?x?2?z?0?y 令 ?
F?xy?2?x?2?y?0z???F??3xy?2xz?2yz?36?0解以上方程组得 x?y?2,z?3. （4分）
由于驻点(2,2,3)唯一，且实际问题必有最大值， 所以用36元的造价，当长方体容器的长、宽、高分别是2,2,3时容积最大. （2分）
注① 错两个偏导数扣1分； ② 未说明此实际问题在(0,??)内必有最大值，而直接判驻点为最大值点者扣1分.
2
高等数学(人资环学院)09-10学年第二学期期末试题(A)答案 2010.7
2. 积分区域D：0?r?acos?,??????， (2分) 22体积：V???(x2?y2)d? (2分)
D?2?d???20acos?0r3dr
???
?20a4cos4?d? 23?4a (4分) 32 3
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