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【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：
（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式
几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释：
（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式
单项式和多项式统称整式． 4.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减
整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除
①幂的运算性质：
②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式：
完全平方公式：
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在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即am?an?ap?am?n?p（m,n,p都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am?n?am?an（m,n都是正整数）.
（4）公式(am)n?amn的推广：((am)n)p?amnp (a?0，m,n,p均为正整数) （5）逆用公式： a变形，从而解决问题.
（6）公式(ab)?a?b的推广：(abc)?a?b?c (n为正整数).
nn （7）逆用公式：ab??ab?逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒
nmn??am???an?，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂
nmnnnnnnn?1??1?数时，计算更简便.如：???210???2??1.
?2??2? （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的
项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，
1010?x?a??x?b??x2??a?b?x?ab.
考点二、因式分解 1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法
（1）提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c) （2）运用公式法：
平方差公式：a?b?(a?b)(a?b)；完全平方公式：a?2ab?b?(a?b) （3）十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
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（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.
（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
（6）运用求根公式法：若ax2?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2，则有：
ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2).
3.因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.
要点诠释：
（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．
（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. （5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 二项、二项 三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 【典型例题】
类型一、整式的有关概念及运算
1．（2014春?余姚市校级期末）若多项式x+ax+8和多项式x﹣3x+b相乘的积中不含x、x
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项，求（a﹣b）﹣（a﹣b）的值． 【思路点拨】
多项式与多项式相乘结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含
某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．
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2
2
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特点 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式 四项 分组分解法 六项 31
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2．（2015春?达州校级期中）已知a﹣b=5，ab=3，求代数式ab﹣2ab+ab的值．
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【思路点拨】首先把代数式ab﹣2ab+ab分解因式，然后尽可能变为和a﹣b、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果．
【总结升华】本题主要运用完全平方公式对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果．
3．已知x
【点评】（1）逆用幂的乘方法则：amn?(am)n?(an)m．
（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
举一反三：
【变式】已知x?2，x?3．求x
类型二、因式分解
ab3a?2b2m3
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3
1?5，求x6m?5的值．
5的值．
4．多项式x?2xy?2y?2y?5的最小值是____________.
【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.
225．把3ax?4by?4ay?3bx分解因式．
【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一
组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a和b，并且另一
个因式都是(3x?4y)，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．
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