第5讲 概率与统计
[考情分析] 概率与统计通过统计图、古典概型、几何概型、线性相关与线性回归方程等知识考查数据处理能力．题目设置比较注重数学与生活的结合，属于中档题，难度适中．
热点题型分析
热点1 统计图
1．一表二图
(1)频率分布表——数据详实； (2)频率分布直方图——分布直观；
(3)频率分布折线图——便于观察总体分布趋势． 2．茎叶图
(1)茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众数等； (2)个位数为叶，十位数(或百位与十位)为茎，相同的数据重复写． 3．条形图
条形图是用条形的长度表示各类别频数(或频率)的多少，其宽度(表示类别)则是固定的．
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
解 (1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，
∴直方图中x的值为0.0075.
- 1 -
220＋240
(2)月平均用电量的众数是＝230.
2∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则 (0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5， 解得a＝224，即中位数为224.
1．频率分布直方图中需要注意的几点
频率
(1)直方图与条形图不同，直方图中的纵坐标是，每个小矩形的面积为频率；条形图
组距的纵坐标为频数或频率；
(2)各组频率之和为1，即所有小矩形的面积和为1； (3)直方图中各小矩形的高度比＝各组频率比＝各组频数比． 2．与频率分布直方图相关问题的解题模板 第一步：根据频率分布直方图计算出相应的频率； 第二步：运用样本频率估计总体的频率； 第三步：得出结论．
3．解决与茎叶图相关问题时，一要弄清茎叶图中茎与叶的含义，不要混淆；二要注意看清所有的样本数据，弄清图中的数字特点，不要漏掉数据．
随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2018年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)请补全频率分布直方图，并估计这1000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间
- 2 -
的中点值作代表)；
(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．
解 (1)成绩在[60,70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：
－
样本的平均数x＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67. 180
(2)因为＝0.18，
1000
所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号学生的最低成绩为0.18－0.05－0.1080－＝78(分)．
0.015
因为79>78，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标”称号． 热点2 概率统计
1．古典概型
P(A)＝
事件A所包含的基本事件数
.
基本事件总数
2．几何概型
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
3．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4．若事件A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，即P(A)＝1－P(A)．
(2019·四川省成都模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
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(1)求图中m的值；
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．
解 (1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：
50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020. (2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t. 因为前2组的频率之和为(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5， 前3组的频率之和为(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5， 所以350 0.0016 6×＝4人，分别记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f， 0.0016＋0.0008则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c，}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法． 其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，7 {e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝. 15 求解概率与统计综合题的两点注意： (1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率； (2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，并判断所述试验的所有基本事件是否为等可能的． - 4 -
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