(2019·西南名校联盟联考)某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：
质量指标值M 等级
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
M<80 三等品 80≤M<110 二等品 M≥110 一等品
(1)记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率； (2)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
(3)根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值(精确到0.01)．
解 (1)记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，
且由频率分布直方图估计P(B)＝0.2＋0.3＋0.15＝0.65，P(C)＝0.1＋0.09＝0.19，又
P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.84，
所以事件A的概率估计为0.84.
(2)由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19,0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900,6500,1600件，故利润估计为1900×10＋6500×6＋1600×2＝61200元．
(3)因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中， 质量指标值M<90的频率为0.06＋0.1＋0.2＝0.36<0.5，
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质量指标值M<100的频率为0.06＋0.1＋0.2＋0.3＝0.66>0.5， 0.5－0.36
故质量指标值M的中位数估计值为90＋≈94.67.
0.03热点3 线性回归分析与独立性检验
1．线性回归方程
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^
^
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方程y＝b x＋a称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式中的斜率和截距分别为b＝－－
∑xiyi－nxy－22
∑xi－nxi＝1
nn^
^
i＝1
－－－－
，a＝y－b x，其中(x，y)是样本点的中心，且回归直线恒过该点．
2．独立性检验
根据2×2列联表，计算随机变量K＝
2
a＋b＋c＋da＋bc＋dad－bc2222
(K也可以表示为χ)，当K>3.841时，则有95%的
a＋cb＋d2
把握说两个事件有关；当K>6.635时，则有99%的把握说两个事件有关．具体参考数据如下表：
P(K20.50 ≥k0) 10.820.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 8
1．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
年份x 储蓄存款y(千亿元)
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：
2013 5 2014 6 2015 7 2016 8 2017 10 - 6 -
表2
时间代号t 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 z (1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
^
^
^
(附：对于线性回归方程y＝b x＋a， －－
∑x^^iyi－nxyi＝1－－
其中b ＝n，a＝y－b x)
－ 2
∑xi－nx2i＝1
^
n－2
解 (1)t＝3，z＝2.2，∑tizi＝45，∑ti＝55， i＝1i＝1
^
55
b＝
^
45－5×3×2.2
＝1.2，
55－5×9
^
－
a＝z－b t＝2.2－3×1.2＝－1.4，
^
所以z＝1.2t－1.4.
^
(2)将t＝x－2012，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
^
得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即y＝1.2x－2410.8.
^
(3)因为y＝1.2×2022－2410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．
2．(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 女顾客 满意 40 30 不满意 10 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K＝2
a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d. - 7 -
40
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男顾客对该商
50场服务满意的概率的估计值为0.8.
30
女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估
50计值为0.6.
100×40×20－30×10
(2)K的观测值k＝
50×50×70×30
2
2
≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
1．线性回归模型是回归模型中的核心问题，判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：一是根据散点图直观判断；二是将相关数据代入相关系数公式求出r，然后根据
r的大小进行判断．
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^
2．求线性回归直线的关键：一是根据公式准确计算出b，a的值；二是抓住样本点的中心－－
(x，y)必在回归直线上．
3．求解独立性检验问题时要注意：一是2×2列联表中的数据与公式中各个字母的对应，不能混淆；二是注意计算得到K之后的结论，即K的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．
(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：
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2
2
y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立
^
模型②：y＝99＋17.5t.
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