∴。
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件同时发生的概率，函数的单调性，考指数函数的单调性，是一道综合题。
例4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y为何值时，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
一点通：（1）根据两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，故生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙就是求甲、乙两种产品的两道工序的加工结果都为A级的概率。（2）我们要根据题目已知，分别求出随机变量ξ、η的取值，并分析每种取值的概率，即可得到随机变量ξ、η的分布列，进而求出各自的数学期望。（3）由（2）的结论，我们不难得到x，y满足的不等关系，即约束条件和目标函数，用线性规划的方法解决问题。
解：（1）由已知得 P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.60
（2）随机变量ξ的分布列为： ξ P 随机变量η的分布列为： η P ∴
（3）由题设得
，
2.5 0.6 1.5 0.4 5 0.68 2.5 0.32
目标函数为 即
作出可行域（如图）
作直线 将
，
向右上方平移至l的位置，
即直线经过可行域上的点M时， z＝4.2x＋2.1y取最大值， 解方程组
得M（4，4）
∴当x＝y＝4时，z＝xEξ＋yEη取得最大值25.2
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数。然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解。
思维拓展类
例5 某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：A?C?D算两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为的概率为
1，路段CD发生堵车事件101） 15
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）若记A?C?F?B中遇到堵车的次数为随机变量?，求E?。
一点通：（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1可以算出，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率，路线A→E→F→B中遇到堵车的概率，再将上述路线的堵车概率进行比较可得结果。
（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到的堵车次数X可取值为0，1，2，3。结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望。
解：（1）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A?C?D?B中遇到堵车的概率P1为
1?P(AC?CD?DB)?1?P(AC)?P(CD)?P(DB)
91453?1??1?P(AC)??1?P(CD)??1?P(DB)??1????；
1015610同理：路线A?C?F?B中遇到堵车的概率P2为1?P(AC?CF?FB)?路线A?E?F?B中遇到堵车的概率P3为1?P(AE?EF?FB)?239 80091 300显然要使得由A到B的路线途中发生堵车的事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线A?C?F?B。
（2）路线A?C?F?B中遇到堵车的次数?可取值为0、1、2、3
P(??0)?P(AC?CF?FB)?561 800637 240077 P(??2)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?24003 P(??3)?P(AC?CF?FB)?2400P(??1)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?
?E??0?5616377731?1??2??3?? 8002400240024003点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，相互独立事件同时发生的概率。
求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题。
例6 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中两次排序的偏离程度的高低为其评分。
现设n?4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X?1?a1?2?a2?3?a3?4?a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。
（1）写出X的可能取值集合；
（2）假设a1,a2,a3,a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X?2，
①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。 一点通：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，可得结论。
（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下X的值，算出概率，写出分布列。
（3）算出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，算出概率的值和已知量进行比较，得到结论。
解：（1）∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个， ∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数， ∴|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，
∴X＝（|1－a1|＋|3－a3|）＋（|2－a2|＋|4－a4|）必为偶数， X的值非负，且易知其值不大于8， ∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
（2）可列表或用树状图列出1、2、3、4的一共24种排列， X P 计算每种排列下X的值， 在等可能的假定下， 得到P（X＝0）＝
0 2 4 6 8 1 243 247P（X＝4）＝
24P（X＝2）＝
9 244P（X＝8）＝
24P（X＝6）＝
（3）①首先P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝
41? 246将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设得
1?1?P＝???
216?6?15②由于P＝，是一个很小的概率， ?2161000这表明，如果仅凭随机猜测，则得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小， ∴我们认为该品酒师确实有良好的酒味鉴别功能，而不是靠随机猜测。 点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，应注意解题格式。
应用概率与统计知识解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。
袋中装有2个红球和4个黑球，从袋中取出3个球，设取出的黑球个数为?，求?的分布列。
错解：?服从超几何分布
3（答题时间：45分钟）
一、选择题：
1. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其中的尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|等于（ ）
hm
A. hm B. C. D. 与m，n无关
mh
2. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量→m＝（a，b），→n＝（1，－2），则向量→m与向量→n垂直的概率是（ ） 1111
A. B. C. D. 612918
3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，
相关推荐：
loading