3．匀变速直线运动的位移与时间的关系
1．理解v-t图像中“面积”与位移的关系，了解匀变速直线运动位移与时间的关系式的推导过程。
2．理解匀变速直线运动位移与时间的关系式，并会用其解决实际问题。 3．理解速度与位移的关系式的推导过程，理解速度与位移关系式，并会应用其解决实际问题。
一、匀变速直线运动的位移 1．位移在v-t图像中的表示
01t轴所包围做匀变速直线运动的物体的位移，对应着v-t图像中的图线和□02面积。 的面积。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于着色部分的梯形的□03v0t＋1at2。 2．位移公式：x＝□2
04(1)公式中x、v0、a均是矢量，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的□正、负值；
051at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时(2)当v0＝0时，x＝□2间的关系。
二、匀变速直线运动的速度与位移的关系 1．匀变速直线运动的速度与位移的关系式
201v2－v002v2＝2ax。 □＝2ax，若v0＝0，则关系式为□2．公式推导
03v0＋at① 速度公式：v＝□04v0t＋1at2② 位移公式：x＝□2
05v2－v2将上述两个公式联立，消去时间t，可得□0＝2ax。
3．速度与位移的关系式是矢量式，使用时应先规定正方向，以便确定v0、v、a、x的正负。
判一判
(1)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。( ) (2)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。( ) 1
(3)位移公式x＝v0t＋2at2仅适用于匀加速直线运动。( ) (4)公式v2－v20＝2ax适用于所有的直线运动。( )
22(5)因为v2－v20＝2ax，v＝v0＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0。
( )
(6)在公式v2－v2a为矢量，与规定的正方向相反时，a取负值。( ) 0＝2ax中，提示：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 想一想
(1)v-t图像中图线与时间轴所围的图形有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？
提示：根据v-t图像的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴上方，其面积表示的物体的位移为正值，位移为正方向；同理，图线在时间轴的下方，表明物体向负方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴下方，其面积表示的位移是负值，位移为负方向。
(2)匀速直线运动的位移公式为x＝vt，由此式可以得出它的位移x与时间t呈线性关系，作出的x-t图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t1
＋2at2，那么它的x-t图像应为什么形状？
提示：匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x-t图像应为抛物线。
(3)应用v2－v20＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
2提示：因为公式v2－v0＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间
时，应用该式分析匀变速直线运动较方便。
课堂任务
匀变速直线运动的位移
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：以速度v做匀速直线运动的物体，时间t内的位移是什么？在图甲所示的图像中可以用什么来表示？
提示：位移x＝vt，在图甲所示的v-t图像上可以用图线与时间轴所包围的矩形面积来表示。
活动2：从活动1的结论可以得到什么启示？在图乙上有什么体现？ 提示：匀变速直线运动的位移大小也能用v-t图像中图线与时间轴所包围图像的面积来表示，即初速度为v0，末速度为v，运动时间为t的匀变速直线运动的位移可用图乙中着色部分的梯形面积表示。
活动3：观察图丙和图丁，分析活动2的推测合理吗？
提示：把匀变速直线运动近似看成几段匀速直线运动，如图丙，其位移就可以近似表示为图丙中几个矩形面积的和。把运动过程划分为更多的小段，如图丁，用这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程中的位移，小矩形越窄，多个小矩形的面积之和越接近物体的位移。如果把整个运动过程分割得非常细，很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移，这些小矩形合在一起便形成了图乙中的梯形，所以活动2的推测合理。
活动4：若已知匀变速直线运动的初速度v0、加速度a，如何推导出位移x与时间t的关系式？
1
提示：根据梯形面积公式可知，x＝2(v0＋v)t，将v＝v0＋at代入得，x＝v0t1
＋2at2。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。 1．位移与面积的关系
匀变速直线运动v-t图像与时间轴所围成的“梯形面积”等于“位移”。 12
2．匀变速直线运动的位移公式：x＝v0t＋2at (1)公式推导
方法一：如图为匀变速直线运动的v-t图像，其阴影部分的面积等于物体的v0＋v
位移。由梯形的面积公式知物体的位移：x＝2·t，再代入v＝v0＋at得：x＝v0＋?v0＋at?12
·t，整理得x＝v0t＋at。 22
方法二：仍然利用v-t图像中阴影部分的面积等于物体的位移，但把阴影部11
分分割为两部分(如图所示)：x1＝v0t，x2＝2at2，所以x＝x1＋x2，即x＝v0t＋2at2。
图线在时间轴上方，图线与时间轴所围的图形的面积为正值，表示
的位移为正；图线在时间轴下方，图线与时间轴所围的图形的面积为负值，表示的位移为负；图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和。例如：如果一个物体的v-t图像如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，
此时x1<0，x2>0，则0～t2时间内该物体的总位移x＝|x2|－|x1|，若x>0，位移为正，若x<0，位移为负。
(2)公式特点
1
①公式x＝v0t＋2at2是位移公式，而不是路程公式。利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。
②矢量性：位移公式为矢量式，该公式中除t外各量均为矢量，注意其方向。x、a、v0必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向。若取初速度方向为正方向，其情况列表如下。
若物体做匀加速直线运动 若物体做匀减速直线运动 若位移的计算结果为正值 若位移的计算结果为负值 相同 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反 a与v0同向，a取正值 a与v0反向，a取负值 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向③此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用。 3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
12
(2)当v0＝0时，x＝2at(由静止开始的匀加速直线运动)。
例1 一物体做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。
(1)两问分别要求的是哪段时间内的位移？
提示：第一问要求的是0～3 s内的位移，即所求位移的时间间隔是3 s；第二问要求的是第3 s内的位移，所求位移的时间间隔是1 s，即第2 s末到第3 s末
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