专题限时集训(十一) 圆锥曲线中的综合问题
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1．(2019·西安模拟)已知抛物线E：y＝2px(p＞0)的焦点为F，x轴上方的点A(2，m)5
在抛物线E上，且|AF|＝，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N与A不重合)，设直线
2
2
AM，AN的斜率分别为k1，k2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当k1＋k2＝2时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
p5
[解] (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋＝，得p＝1，
22
所以，抛物线E的方程为y＝2x.
(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为y＝kx＋b，
??y＝kx＋b，
联立直线l与抛物线E的方程?2
?y＝2x，?
2
得kx＋(2kb－
22
2)x＋b＝0，
2－2kbb设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝2，k1＋2
2
2
kky1－2y2－2kx1＋b－k2＝＋＝
x1－2x2－2x2－＋kx2＋b－x1－x2－
x1－
b22－2kb2k·2＋b－2k－＋8－4bkk2
＝ b22－2kb－2·＋4k2k2
2kb＋b－2k－
＝
b2－
2
－2kb＋
2
－2kb＋4k－4bk2
＝2，
化简得出(b＋1)(b＋2k－2)＝0，∴b＝－1或b＝2－2k. 当b＝－1时，y＝kx－1，过定点(0，－1)；
当b＝2－2k时，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，舍去， 故直线l恒过定点(0，－1)．
x2y2?3?2．(2019·马鞍山二模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点M?1，?在椭ab?2?
圆C上且MF垂直于x轴．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x＝4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值．
c＝1，??19
[解] (1)由题意可得?＋＝1，
a4b??a＝b＋c，
2
2
2
2
2
解得a＝4，b＝3，
22
故椭圆C的方程为＋＝1. 43
3??1，(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，由M??， ?2?
x2y2
323
可得直线PM的方程为y－＝(x－1)，
2x0－1
y0－
3??3?y0－?2?3?
将x＝4，代入可得y＝＋，
x0－12
?3?y0－3??
?2???3?， 故点N??4，＋?
x0－12??
∵F(1,0)，
∴直线PF的方程为y＝
y0
x0－1
(x－1)，即y0x＋(1－x0)y－y0＝0.
∴点N到直线PF的距离为
?
?4y0＋??
－x0
?3?y0－3???
????2?3－y0??
??＋??x0－12??
－x0
2y20＋
＝
?6－3x0?
?2???
3223－x0＋1－2x0＋x0
4
＝3
|4－x0|2
?1x0－2??2???
2 3
|4－x0|2＝＝3， 1
|x0－4|2
故N到直线PF的距离为定值，定值为3.
x2y2
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的
ab点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． [解] (1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝＝3－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 1yyxy|y|·2c＝16，·＝－1，2＋2＝1， 2x＋cx－cab即c|y|＝16，①
2
2
cax2＋y2＝c2，② x2y2
＋＝1.③ a2b2
b4
由②③及a＝b＋c得y＝2. c2
2
2
2
16
又由①知y＝2，故b＝4.
2
2
ca222
由②③及a＝b＋c得x＝2(c－b)，
c2
2
2
2
所以c≥b，从而a＝b＋c≥2b＝32， 故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．
222222
x2y2
4．已知椭圆M：2＋＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经
a3
过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)[一题多解]记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值． [解] (1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1， 又b＝3，所以a＝2，所以椭圆M的方程为＋＝1.
43
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
x2y2
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