2020-2021备战中考数学相似的综合复习及详细答案

2020-2021备战中考数学相似的综合复习及详细答案

一、相似

1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：

（1）∠OAE=∠OBE； （2）AE=BE+ ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°，

∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE

（2）证明：在AE上截取EF=BE，

OE．

【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

则△EFB是等腰直角三角形， ∴

，∠FBE=45°，

∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵ ∴

， ，

∴△ABF∽△BOE，

∴ = ∴AF=

， OE， OE．

∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+

【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。

（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为

OE，由AE=AF+EF，可证得结论。

，

，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比

例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF=

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形 在

中， 分别是

的中点，

是矩形，

（2）解：如图1，过点 作

于 ，

（舍）或

（3）解：四边形

秒

为矩形时,如图所示：

解得：

（4）解：当点 在 上时，如图2，

当点 在 上时，

如图3，

时，如图4，

时，如图5，

综上所述， 或 或 或 秒时，

是等腰三角形．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。 （2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2 ， 建立关于t的方程，求解即可。 （3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF， 如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

3．如图，抛物线y=﹣ 点P、N．

+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一

个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得 ∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；

，解得

，

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得 ，解得

，