佛山一中2019—2020学年第二学期高二级第一次段考数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1. 已知
为纯虚数，则实数a的值为
A. 2
2. 已知函数
B.
，则函数
，则B. 2
C.
的图象在点
D.
处的切线方程为
A.
3. 已知
A. 1 4. 已知函数
B.
C.
D.
C. 4
在区间
D. 8
上是增函数，则实数m的取值范围为
B. C. D.
5. 有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则
点大前提因为函数满足，小前提所以是函数以上推理 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误 6. 若i为虚数单位，设复数z满足，则的最大值为
A. B. C. D. 7. 函数
的图象大致为
A.
是函数的极值
的极值点”，结论
A. B. C. D.
8. 已知定义在R上的可导函数
的解集为
的导函数为，满足，且，则不等式
B. C. D.
9. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单
位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，，192，，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割
A.
圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是精确到参考数据
A. B. C. D.
10. 若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、不定项选择题：本大题共2小题，每小题5分,共10分. 11. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、
，都有
、
、ab、
除数
则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是
A. 数域必含有0，1两个数 B. 整数集是数域
，则数集M必为数域 C. 若有理数集
D. 数域必为无限集 12. 对于函数
，下列结论中正确的是
为奇函数 是
的一个周期
是在
A. C.
B. D.
的一条对称轴 上为增函数
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 复数
的值等于______．
14. 甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制分为A，B，C三
个层次，得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下： 甲说：看丙的状态，他只能得B或C； 乙说：我肯定得A；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是______． 15. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为
___________． 16. 已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与
三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，，球与三棱锥的三个面和球都相切，且，则球的体积等于______，球的表面积等于______．
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知z为复数，
和
均为实数，其中i是虚数单位．
求复数z和；
若
在第四象限，求实数m的取值范围．
18. (本小题满分12分)已知函数
的极值点为1和2．
求实数a，b的值．
求函数在区间
上的最大值．
19. (本小题满分12分)
用数学归纳法证明：
；用反正法证明：已知
，，且，求证：和少有一个小于2．
中至
20. (本小题满分12分) 某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设
服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为
万元．且
．
写出年利润万元关于年产量万件的函数关系式；
年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？注：年利润年销售收入年总成本
21. (本小题满分12分)函数
．
讨论
的单调性；
若在区间
上是增函数，求a的取值范围．
22. (本小题满分12分)已知函数
讨论若
的极值点的个数； ，求证：
．
；
佛山一中2019—2020学年第二学期高二级第一次段考数学试题
答案和解析
【答案】 1. A 2. B 8. D 9. B
3. A
10. B 16.
4. D 11. AD
5. A 6. C 12. ACD
7. A
13. 1 14. 甲 15.
9.解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为所以正二十四边形的面积为
的导函数为10. 解：函数
令，则或，令则在上单调递减，在和且
是函数
，所以每个等腰三角形的面积
，故选：B．
，
或，令，得上单调递增，
，
，
，
，得，
，
的极值点，函数的极值为：，作出
的图象如图，
函数
恰有三个零点，即
．故选B．
有三个根，
则实数a的取值范围是：
11.
【解答】 解：当当
，
时，，
、
，故可知A正确．
不满足条件，故可知B不正确．
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