【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC?平面ABC， ∴AC⊥AA1．
∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．
又A1A?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，A1A∩AB=A， ∴AC⊥平面A1ABB1． ∵A1B?平面A1ABB1， ∴AC⊥A1B．
（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示： 则A1（0，0，1），
，
．
∴
，． ∴
直线EF与A1B所成的角为45°． （Ⅲ）
，
，
．
=（0，0，1）．
设平面GEF的法向量为=（x，y，z），
则
，∴
令，则．
∴cos＜＞==．
∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角，∴sin∠HA1A=|cos＜＞|=
．
∴∠HA1A=
．
，
．
17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能． 比赛项目 男单 女单 混双 25分钟 20分钟 35分钟 平均比赛时间 （Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率； （Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；
（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．
【考点】计数原理的应用． 【分析】（Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，
（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，
（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少． 【解答】解：（I）三场比赛共有
种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进
． （Ⅱ）
行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为
令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．
按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）． 按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）． 按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）． 按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）． 按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）． 按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）． 且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为
，所以平均等待时间为，
（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少
18．设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=ex﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间； fx）（Ⅱ）可以由（＞0恒成立得到
恒成立，这样设
，
求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从
而便可得出a的取值范围； （Ⅲ）容易得到
等价于ex﹣xex﹣1＞0，可设h（x）=ex﹣xex
﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=ex﹣x﹣1，f'（x）=ex﹣1； 令f'（x）=0，得x=0；
∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减； 当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增； 即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）； （Ⅱ）∵ex＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等价于设
，x∈（0，+∞），
恒成立；
；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1； ∴a≥1；
∴a的取值范围为[1，+∞）； （Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，设h（x）=ex﹣xex﹣1，x∈（0，+∞），
；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，ex﹣x﹣1＞0恒成立； ∴
；
等价于ex﹣xex﹣1＞0；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；
因此当x∈（0，+∞）时，．
19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p． （Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为
．与抛物线方程联立可得：
，由直线OA与OB的斜率
．
之积为﹣p，即
．可得：x1x2=4． 利用根与系数的关系即可得出．
（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为
，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．
【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为
．
∴
∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p， ∴
．
，
．
，
∴
，得 x1x2=4．
由，化为
，
其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0 ∴x1+x2=
，x1x2=
．
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