抽屉原理及其应用

目 录

1 抽屉原理 ................................................................................................................................ 1

1.1 抽屉原理的定理及其推论 .................................................................................................... 1 1.2 抽屉原理的几种形式 ............................................................................................................ 2

1.2.1 第一、第二抽屉原理及无限的抽屉原理 ................................................................... 2 1.2.2抽屉原理的数学表达形式 ........................................................................................... 3

2抽屉原理的应用 ................................................................................................................. 3

2.1 抽屉的构造 ............................................................................................................................ 3

2.1.1 以集合构造抽屉 ........................................................................................................... 4 2.1.2分割图形构造抽屉 ....................................................................................................... 4 2.1.3 用状态构造抽屉 ......................................................................................................... 5 2.1.4 用整数性质制造抽屉 ................................................................................................. 6 2.1.5 等分区间制造抽屉 ..................................................................................................... 6 2.1.6 根据问题的需要制造抽屉 ......................................................................................... 7 2.2 抽屉原理的应用 .................................................................................................................... 8

2.2.1 抽屉原理在高等数学中的应用 ................................................................................... 8 2.2.2 抽屉原理在初等数学中的应用 ................................................................................... 9 2.2.3 抽屉原理在实际生活中的应用 ................................................................................. 10

3 总结......................................................................................................................................... 12 参考文献 ................................................................................................................................... 13 致 谢......................................................................................................................................... 14

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抽屉原理及其应用

数学系本888班 钱多多

指导教师：仁气旺

摘 要：抽屉原理是数学中的重要原理,在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用。同时指出了它在实际生活中的应用。

关键词：抽屉原理, 高等数学, 初等数学, 应用。

The Drawer Principle and Its Applications

Qian Duoduo

Class 888, Mathematics Department

Tutor: Ren Qiwang

Abstract: The principle of drawer is important in mathematics, which is very useful in solving the problem of mathematics. The principle of drawer with multiform show is often used in higher mathematics and primary mathematics. In this paper, the application of the principle of drawer in higher mathematics and primary mathematics (competition subjects) is emphatically discussed from the construction method of the principle of drawer. At the same time, principle of drawers is also applied in our daily life.

Key Words: the drawer principle, advanced mathematics, primary mathematics, application

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1 抽屉原理

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现，我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n?1 或多于n?1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 1.1 抽屉原理的定理及其推论［1］

定理1 (抽屉原理的简单形式)如果n?1个物体被放进n个盒子，则必有一个盒子包含两个或者更多的物体。

证明：(用反证法)如果n个盒子中每个盒子至多放一个物体，则放入n个盒子中的物体总数至多为n个。这与假设有n?1个物体矛盾。从而定理得证。

定理2 (抽屉原理的一般形式)如果m(m?2)只鸽子飞进n个笼子，则必有一

m?1个笼子，在该笼子里至少有n只鸽子。

证法类似定理一。

定理3 (抽屉原理的加强形式)设q1，q2，?，qn为正整数，如果将那么或者第一个盒子至少含有q1q1?q2???qn?n?1 个物体放入n个盒子内，

个物体，或者第二个盒子至少含有q2个物体，?，或者第n个盒子至少含有qn个物体。

证明：设将q1?q2???qn?n?1个物体分放到n个盒子中．如果对于每个

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i?1,2,?n，第i个盒子含有少于qi个物体，那么所有盒子中的物体总数不超过

（q1?1）?（q2?1）???（qn?1）? q1?q2???qn?n

该数比所分发的物体总数少1，因此我们断言，对于某一个i?1,2,?n，第i个盒子至少包含qi个物体。

注意，能够将q1?q2???qn?n个物体用下面的方法分到n个盒子中，对所有的i?1,2,?n第i个盒子都不能含有qi个或更多的物体，我们可以通过将

q1?1个物体放入第一个盒子，将q2?1个物体放入第二个盒子等来实现，抽屉原理的简单形式是由其强化形式的通过使q1?q2??qn?2得到的，由此有

q1?q2???qn?n?1?2n?n?1?n?1。

由上面定理，可以得到:

推论1． 如果将n(m?1)个物体放入n个盒子，则至少有一个盒子中有m个或更多的物体。

推论2． 设q1，q2，?，qn都是正整数，如果q?q2???qn?(m?1)n?1，则q1，q2，?，qn中至少有一个数不小于m。

推论3． 设有无穷多个元素按任一确定的方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素。 1.2 抽屉原理的几种形式

1.2.1 第一、第二抽屉原理及无限的抽屉原理

1) 第一抽屉原理

原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n?k(k?1)，这不可能。

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