原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m?1个或多于m?1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
2) 第二抽屉原理
把(mn?1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有m?1个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
3) 无限的抽屉原理
设有无穷多个元素分属于n个集合, 则必有一个集合中含有无穷多个元素。 1.2.2抽屉原理的数学表达形式［3］
n定理： 设qi?N(i?1如果把q1?q2???qn?n?1??qi?n?1，2，?，n)，
i?1个物品放入n个盒子中，则至少存在一个i(1?i?n),使得第i个盒子中至少放有
qi物品。
证明：若对所有的i(1?i?n)，第i个盒子中至多只有qi?1个物品，则n个盒子中至多有：与题设有?qi ?n?1 (q1?1)?(q2?1)??qn?1??qi?n物品，
i?1nn个物品相矛盾，故定理成立。
2抽屉原理的应用
2.1 抽屉的构造
在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧
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妙地方法去构造。下面举例说明几种常见的抽屉构造法。 2.1.1 以集合构造抽屉［5］
例1. 证明: 在小于 100 的 27 个不同的奇自然数中 ,必定可找到两个数 ,它们的和等于 102 。
分析: 小于 100 的奇数有 1 ,3 ,5 ,?,99 共 50 个数 ,现在要用它做成 26 个抽屉 ,而且至少有一抽屉不少于两个数 ,这两个数之和恰为 102 就解决了。
证明:令A1?{1},A2?{3,99},A3?{5,97]?,A25?{49,53},A26?{51},除 由小于100 的奇数A1,A26外,A2,A3,?,A25每个抽屉均有和为 102 的两个奇数。
中任取 27 个奇数 ,这 27 个奇数必取自A1，A2，?A26这 26 个集合,依抽屉原理 ,至少有 2 个不同的奇数来源于同一抽屉 ,显然这个抽屉只能属于
A2，A3，?A25之一 ,这两个数之和等于 102。 2.1.2分割图形构造抽屉
在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决。
例2. 把125本书分给5（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式，用“图形分割法”构造抽屉。题意是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样做，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件和结论与抽屉原理二正好相反，所以反着用抽屉原理二即可。由125÷（4－1）＝41??2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
例3［４］ 在边长为2米的正方形内，任意放入13个点．求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
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(1) (2)
证明：把边长为2米的正方形分割成面积为1平方米的4个小正方形，如图1．因为13=3×4+1，所以由抽屉原理知，至少有4个点落在同一个面积为1平方米的小正方形内（或边上），以这4个点为顶点的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这4个点为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
注：此例是通过分割图形构造抽屉． 将正方形等分成4个矩形来制造抽屉也可以解决本题，如图2。 2.1.3 用状态构造抽屉［5］
例 4 . 设有六点 ,每两点之间都用红色或蓝色线段相连 ,且任三点不共线,求证: 总可以找到三点, 做成以它们为顶点的三角形, 而这三角形三边涂有相同的颜色。
分析: 设已知六点为 A1 、A2 、A3 、A4 、A5 、A5,由于任三点不共线 ,所以任三点均可作为某三角形的三个顶点。
证明:任取一点为A1, 将A1与其余五点相连得线段: A1A2 , A1A3 ，A1A4,
A1A5 , A1A6 ,由于这五条线段涂有红色或蓝色 ,由抽屉原理知 ,得至少有三条涂有同一种颜色。(颜色为抽屉 ,线段为元素) ,不妨设A1A2 , A1A3 ，A1A4 涂有红色 ,这时我们考察△A2A3A4。
(1) 若△A2A3A4中有一条边红色,如A2A3 ,则△A1A2A3为三边同红的三角形；
(2) 若 △A2A3A4 中无一条红色边 ,则 △A2A3A4就是三边均为蓝色的三角形。
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综上所述 ,总存在同色三角形。 2.1.4 用整数性质制造抽屉
当问题与整数性质有关时，我们可以用整数的性质，把题目中的数设计成一些抽屉，然后用抽屉原理去解。
(1) 利用整数分组制做抽屉［5］
例 5. 对于n?1个不同的自然数 ,若每一数都小于2n ,那么可以从中选取三个数 ,使其中两数之和等于第三数。
证明:把这n?1个自然数排成单调递增序列:a0?a1???an,作
bi?ai?a0,i?1，2,??n,则:
0?b1?b2???bn?an?2n,考
察:a1,a2,?an ,b1,b2,?bn,,这 2n 个小于2n的自然数 ,则必有
2,??n。 ai?bj?aj?a0 ，即a0?ai?aj ,j?1，(2) 按同余类制造抽屉
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m?1]表示．每一个类含有无穷多个数．在研究与整除有关的问题时，常按同余类制造抽屉。
例6［４］任意10个自然数中，总有两个数的差是9的倍数．
证明：要使两个自然数的差被9整除，必须使两个自然数被9除的余数相同．于是我们考虑把自然数按除以9所得的余数0、1、2、3、．．．、8进行分类，也就是9个抽屉．根据抽屉原理，任意10个自然数中，必有两个数除以9所得的余数相同．因此这两个数的差一定是9的倍数。
本题的特点比较明显，很容易想到利用同余类制造抽屉。 2.1.5 等分区间制造抽屉
当问题的结论与区间有关时，可等分某个区间，设计出若干个抽屉． 例7［6］ 求证：对于任给的正无理数?及任意大的自然数n，存在一个有理数
kk1，使得︱??︳﹤mmmn。
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