证明：把区间（0，1）进行n等分，得n个小区间
?1??12??23??n?1?0,,,,,,...,,1????????nnnnnn????????．
由抽屉原理知，这些区间内的n?1个数中，必有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小于
1。 n设pi?N(i?1,2,?n?1)，则由?是正无理数得
0?pi???pi???1
所以这n?1个数pi???pi???i?1,2,?,n?1?中，必有2个数，不妨设为p1???p1??和p2???p2??，它们的差的绝对值小于
1，即 n1n
(p1?p2)??(?p1????p2??)?设p1?p2?m,?p1????p2???k，则
11k m??k﹤，即??﹤
nmnm上述例子涉及区间问题，把区间（0，1）进行n等分，得n个小区间，自然就得到了n个抽屉，而n?1个数可以作为n?1个物体，此处可以利用抽屉原理解决问题。
2.1.6 根据问题的需要制造抽屉
例8［４］ 能否在4×4的方格表的每个小方格中分别填上1、2、3这3个数之一，而使大正方形方格的每行、每列及对角线上的4个数字的和互不相同?请说明理由．
证明：若每格都填数字“1”，则4个数字之和最小，其值为4；若每格都填数字“3”，则4个数字之和最大，其值为12．因为从4到12之间共
有12?4?1?9个互不相同的值作为9个抽屉，而4行、4列及2条对角线上的各个数字之和共有4?4?2?10个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1，
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根据抽屉原理知，一定至少有两个数值属于同一个抽屉，即不可能使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同。
本题中的抽屉不明显，需要根据问题来进行构造，即找出4个数字之和的最小值和最大值，从而确定抽屉数．本题可推广为：不可能在n?n的方格表的每个方格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形方格表的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同．但如果在每个方格中分别填上1、2、3、4这4个数之一，则可以使大正方形方格的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同。
综合所述，抽屉的构造方法大致可归结为两大类：一类是分割图形构造抽屉；一类是用分类的概念构造抽屉.抽屉构造之巧妙，常令人惊叹不已，拍案叫绝，抽屉的构造方法也不胜枚举，在这里我们旨在做到举一反三. 抽屉原理是组合数学中貌似平凡却透着不平凡应用定理之一，下面我们就来探讨抽屉原理在高等数学和初等数学(竞赛题)及实际生活中的应用。 2.2 抽屉原理的应用
2.2.1 抽屉原理在高等数学中的应用
高等数学中一些问题抽象，复杂，解答比较困难，如果一些问题巧妙地运用抽屉原理会收到很好的效果，下列举例介绍抽屉原理在高等数学中的巧妙应用。
（1）抽屉原理在高等代数中的应用
例9［7］ 设A为n阶方阵，证明：存在1?i?n，使秩(Ai)=秩(Ai?1)=秩
(Ai?2)??
证明：因为n阶方阵的秩只能是0,1,2,?,n这n?1个数之一,令
E?A0,A,A2,?,An,An?1，E的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在k,l满足1?k?l?n,使秩(Ak)= 秩(Al),但秩(Ak)?秩(Ak?1)???秩(Al),所
(Ak)=秩(Ak?1),利用此式与秩的性质得秩(ABC)?秩(AB)+秩(BC)-秩
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(B),这里的A,B,C是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证:秩(Ak?m)=秩(Ak?m?1)。其中m为非负整数，故命题的结论成立。
（2）抽屉原理解决数论问题
在初等数论中，很多问题都可以看作存在性问题，所以可考虑利用抽屉原理进行解决。
例10［8］ 证明: 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数。 分析与证明: 任一整数被 3 除余数只可能是 0，1，2． 若给定的五个整数被 3 除所得的余数中0，1，2 都出现，那么余数分别为 0，1，2 的三个数的和一定能被 3 整除，如果余数中至多出现 0，1，2 中的两个，那么由抽屉原理，其中必有一个余数至少出现三次． 而这余数相同的三个数的和一定能被 3 整除．因此在任意五个整数中，必有三个整数的和是 3 的倍数。
（3）解决几何问题
抽屉原理在几何问题中可以变形如下：如果长度为a的线段上放置若干条长度之和大于a的线段，则放置的线段中必有公共点。
例11［8］ 在边长为1的正方形内部，放置若干个圆，这些圆的周长之和等于10．证明：可作出一条直线，至少与其中四个圆有交点。
证明：将所有的已知圆投影到正方形的一条边AB上．注意，周长为l的圆周，其投影长为
10l?的线段．因此所有已知圆的投影长度之和等于
10，由于???3?3AB，所以由抽屉原理知，线段AB上必有一点X，至少被四条投影线
段所覆盖．即至少有四条投影线段有公共点．因此，过点X且垂直于AB的直线，至少与四个已知圆有交点。 2.2.2 抽屉原理在初等数学中的应用
初等数学问题的特点是：只涉及一些相关的条件，或者有时虽然给出一些数值条件，但也不能应用这些条件通过通常的数学方法或计算、或代入求值、或列方程、或做图、或证明等方法予以解决，而只能借助给出的相关联的条件给予推理、判断，从而解决问题.下面我们就列举抽屉原理在初等数学(竞赛题)中的应用。
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例12 在一个礼堂中有99名学生, 如果他们中的每个人都与其中的 66 人相识, 那么可能出现这种情况: 他们中的任何4人中都一定有2人不相识(假定相识是互相的)。
分析：注意到题中的说法“ 可能出现”,说明题的结论并非是条件的必然结果, 而仅仅是一种可能性, 因此只需要设法构造出一 种情况使之出现题目中所说的结论即可。
解：将礼堂中的99人记为a1,a2,?,a99 将 99 人分为 3 组:
(a1 ,a2 , ? , a33 ) , (a34 , a35 ,? , a66 ) , (a67 , a68 ,? , a99 ) , 将 3 组学生作为 3 个抽屉,分别记为 A ,B ,C, 并约定A 中的学生所认识的 66人只在B, C 中, 同时, B,C 中的学生所认识的 66 人也只在A,C 和A,B中. 如果出现这种局面, 那么题目中所说情况就可能出现. 因为礼堂中任意 4 人可看做 4 个苹果, 放入A ,B ,C 三个抽屉中, 必有 2 人在同一抽屉, 即必有 2 人来自同一组, 那么他们认识的人只在另两组中, 因此他们两人不相识。
反思：由于对学生的处理是任意的, 且所论证的问题也只要求存在即可,不一定是确定的。因此可以考虑运用抽屉原理进行论证的命题, 另外对题设中至少含有 、一定有 、不少于 、存在 、必然有等词语, 应注意巧妙构造抽屉, 本题使用抽屉原理成为了贯穿整个题目的核心。 2.2.3 抽屉原理在实际生活中的应用
（1）利用抽屉原理解释生活中一些现象
例13 任意六个人中必有三个人，他们彼此之间握过手或者彼此之间没有握过手。
分析：用平面上的六个点A.B.C.D.E.F表示这六个人。如果两个人握过手，则用红色的线段把相应的两个点连接起来；如果这两个人没有握过手，则用蓝色的线段把相应的两个点连接起来。
根据原理，这六个人中的任意一人必定是与其他任意三个人是握过手的或没握过手，那么，可构造如下图：不妨假设他们都与A握过手。
因此就出现了两种情况：
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