历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

心分别为I1，I2，

11、如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆． 证明：由梅内劳斯（Menelaus）定理，得

NBDEAQ???1BDEAQN， ② MCDEAP???1CDEAPM． ③

NBMCNDMD??由①，②，③可得BDCD， 所以BDDC，故△DMN ∽ △DCB，于是

?DMN??DCB，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而A,B,D,C四点共圆.

2注1：“PK?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，

使得

PK?KF?AK?KE， ④ 则P，E，F，A四点共圆，故

?PFE??PAE??BCE，

12、如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若

?BPA??DPA，证明：?AQB??CQB．

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历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

【解析】延长线段DP与圆交于另一点E，则?CPE??DPA??BPA，又P是线段AC的中点，故AB?CE，从而?CDP??BDA．

ABPC?BDCD，即AB?CD?PC?BD . ?ABD??PCDPCD又，所以△ABD∽△，于是

AB?CD?11AC?BD?AC?(BD)?AC?BQ22，

??从而有

ABBQ?ACCD． 即

又?ABQ??ACD，所以△ABQ∽△ACD，所以?QAB??DAC． 延长线段AQ与圆交于另一点F，则?CAB??DAF，故BC?DF． 又因为Q为BD的中点，所以?CQB??DQF．

又?AQB??DQF，所以?AQB??CQB．

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