Matlab求解微分方程（组）及偏微分方程（组）

第四讲 Matlab求解微分方程（组）

理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例

实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介

1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数，D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：

X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.

注意，系统缺省的自变量为t

2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

说明：(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.

(2)odefun是显示微分方程y'?f(t,y)在积分区间tspan?[t0,tf]上从t0到tf用初始条件y0求解.

(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点t0,t1,t2,L,tf上的解，则令tspan?[t0,t1,t2,Ltf](要求是单调的).

(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver.

表1 Matlab中文本文件读写函数

求解器 ODE类型 特点 单步算法：4、5阶Runge-Kutta说明 大部分场合的首选算法 使用于精度较低的情形 ode45 非刚性 方程；累计截断误差(?x)3 单步算法：2、3阶Runge-Kuttaode23 非刚性 方程；累计截断误差(?x)3 多步法：Adams算法；高低精度ode113 ode23t ode15s 非刚性 可达10~10 适度刚性 刚性 精度中等 单步法：2阶Rosebrock算法；采用梯形算法 ?3?6计算时间比ode45短 适度刚性情形 多步法：Gear’s反向数值微分；若ode45失效时，可尝试使用 当精度较低时，计算时间比ode15s短 当精度较低时，计算ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 时间比ode15s短 说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：

ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.

ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.

3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只

ode23s 刚性 低精度 能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：

FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)

例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量 ）在命令窗口输入:

Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’); g= Fofx([pi/3 pi/],4,1) 系统输出为：g=

注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数. 二．实例介绍

1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例 例1 求解微分方程y'?2xy?xe?x

程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)

例2 求微分方程xy'?y?ex?0在初始条件y(1)?2e下的特解并画出解函数的图形.

程

序

：

syms

x

y;

2y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’);ezplot(y)

?dxt?5x?y?e??dt例 3 求解微分方程组?在初始条件x|t?0?1,y|t?0?0下的特解

dy??x?3y?0??dt并画出解函数的图形.

程序：syms x y t

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')

simple(x);

simple(y)

ezplot(x,y,[0,]);axis auto

2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）

?dy2???2y?2x?2x例 4 求解微分方程初值问题?dx的数值解，求解范围为区

?y(0)?1?间[0,].

程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,],1); plot(x,y,'o-')

d2ydy例 5 求解微分方程2??(1?y2)?y?0,y(0)?1,y'(0)?0的解，并画出

dtdt解的图形.

分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令x1?y,x2?dy,??7，则 dtdx1??x2,x1(0)?1??dt ??dx2?7(1?x2)x?x,x(0)?01212??dt编写M-文件

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end

在Matlab命令窗口编写程序 y0=[1;0]

[t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2);

plot(t,y,t,dy)

练习与思考：M-文件改写成inline函数程序？ 3.用Euler折线法求解

Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题

?dy??f(x,y) ?dx??y(x0)?y0化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商

y(x?h)?y(x)dy替代微商，于是

hdx?y(xk?h)?y(xk)?f(xk,y(xk))? h??y0?y(x0)?记xk?1?xk?h,yk?y(xk),从而yk?1?y(xk?h),于是

y0?y(x0),??xk?1?xk?h,k?0,1,2,L,n?1 ??y?y?hf(x,y).kkk?k?1例 6 用Euler折线法求解微分方程初值问题

2x?dy?y??y2 ?dx?y(0)?1?的数值解（步长h取），求解范围为区间[0,2].

分析：本问题的差分方程为

?x0?0,y0?1,h?0.4?xk?1?xk?h,k?0,1,2,L,n?1 ??y?y?hf(x,y).kkk?k?1程序：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=;