微积分期末试卷 一、选择题（6×２）
1?1.设f(x)?2cosx,g(x)?()sinx在区间（0，）内（ ）。22Ａf(x)是增函数，g(x)是减函数Bf(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2、x?0时，e2x?cosx与sinx相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）1n?A Xn?(?1)n? B Xn?sinn211C Xn?n(a?1) D Xn?cosan1x
5、若f\x)在X0处取得最大值，则必有（ ）Ａf＇(X0)?o Bf＇(X0)?oCf＇(X0)?0且f''( X0)<0 Df''(X0)不存在或f'(X0)?06、曲线y?xex（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线(12)
1~6 DDBDBD
二、填空题
1１、（ ）＝ddxｘ+112、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘｘ２３、函数ｙ＝ｘ的反函数及其定义域与值域分别是：
２＋１４、ｙ＝３ｘ的拐点为：２ｘ?ax?b５、若lim２?2,则a,b的值分别为：x?１ｘ＋2x-3
1 Inx?1 ; 2 y?x3?2x2; 3 y?log2limx,(0,1),R; 4(0,0) 1?x(x?1)(x?m)x?m1?m?lim??2x?1x?15解：原式= (x?1)(x?3)x?34?m?7 ?b??7,a?6三、判断题
1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、limsinx在区间（??，??）是连续函数（）
x?0x3、f\0）=0一定为f(x)的拐点（）
4、若f(X)在x0处取得极值，则必有f(x)在x0处连续不可导（ ） 5、设
函
数
ｆ
(x)
在
?0,1?上二阶可导且
f'(x)?0令A?f（'0），B?f'(1),C?f(1)?f(0),则必有A>B>C( ) 1~5 FFFFT
四、计算题
11用洛必达法则求极限limx2ex
2x?01212exex(?2x?3)x2?lim?lime??? 解：原式=lim?3x?01x?0x?0?2x2x12 若f(x)?(x3?10)4,求f''(0)
f'(x)?4(x3?10)3?3x2?12x2(x3?10)3解：f''(x)?24x?(x3?10)3?12x2?3?(x3?10)2?3x2?24x?(x3?10)3?108x4(x3?10)2
?f''(x)?04x3 求极限lim(cosx)
x?02
4解：原式=limexx?0Incosx2?ex?0limx2Incosx41(?sinx)4Incosx?tanx?xcosx?lim2Incosx?lim?lim?lim?lim??22x?0xx?0x?0x?0x?0xxxx2224?原式?e?2
4 求y?(3x?1)53x?1的导数 x?2511解：Iny?In3x?1?Inx?1?Inx?23221531111y'??????y33x?12x?12x?2y'?(3x?1) 5
3tan?xdx
53
x?1?511????x?2??3x?12(x?1)2(x?2)?解：原式=?tan2xtanxdx??（sec2x?1)tanxdx =?sec2xtanxdx??tanxdxsinxdxcosx1 =?tanxdtanx??dcosxcosx1 =tan2x?Incosx?c2 =?tanxdtanx??6
求?xarctanxdx
1122解：原式=?arctanxd(x)?(xarctanx??x2darctanx)2212x2?1?1 =(xarctanx??dx)221?x1?1? =?x2arctanx??(1?)dx2?2?1?x?1?x2x =arctanx??c22
五、证明题。
1、证明方程x3?x?1?0有且仅有一正实根。 证明：设f(x)?x3?x?1
?f(0)??1?0,f(1)?1?0,且f(x)在?0,1?上连续?至少存在??（0,1),使得f'(?）?0即f(x)在（0，1)内至少有一根，即f(x)?0在（0，??）内至少有一实根假设f(x)?0在（0，??）有两不同实根x1,x2,x2?x1?f(x)在?x2,x2?上连续，在（x2,x2）内可导且f(x1)?f(x2)?0?至少???（x2,x2），s?tf(?)?0而f'(?)?3?2?1?1与假设相矛盾?方程x3?x?1?0有且只有一个正实根
?）2、证明arcsinx?arccosx?（?1?x?1
2
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