插值法的事后误差估计

插值法的事后误差估计 已知

解 要用线性插值求 为

。经计算易得

在

，试用线性插值求 点的值，可取

的解析式，故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。为此，

为节点的线性插值式为

，则有

的近似值，并估计插值误差。 为插值节点，记线性插值式

但是，由于不知道

下面用另外一种方法来估计误差。设以

其中

均属于由

和 所决定的区间。假设

和

，结果有

在该区间内变化不大，则

将上面两个式子相除，消去近似相等的

整理得 （1）

这表明， 再计算出

的插值误差

。由此可得

大致等于

的误差估计

，按此估计式，只要

进一步还可以考虑用事后误差估计式（1）对 大致误差值，如果用这个误差值作为

进行修正。因为式（1）给出了

的

的一种补偿，得到

可以期望，

是

（2）

的更好的插值结果。 可以算得

在本题中，利用上述

事实上，被插值函数 精度的确提高了。

为 ，按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同，

值得说明的是，这并不只是简单的巧合。将式（2）展开即可证明，上述

插值多项式。根据这种思想，人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。

就是抛物