考点5 万有引力与航天

【解析】(1)设地球质量和半径分别为M和R,月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′,探测器刚接触月面时的速度大小为vt 由

GM?m?mg'Mm2G?mg 和?R2Rk12得g??g

k2由v12?v2?2g?h2

2k12gh2得v1?v?

k22(2)设机械能变化量为ΔE,动能变化量为ΔEk,重力势能变化量为ΔEp,由ΔE= ΔEk+ΔEp

12k12gh2k122有ΔE=m(v?)?mgh1

2k2k212k12得?E?mv?mg(h1?h2)

2k2k122k12gh212k122答案:(1) g(2)mv?mg(h1?h2) v?k2 k2k2 2

5.(2014·大纲版全国卷)已知地球的自转周期和半径分别为T和R,地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r(r

(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。 【解题指南】解答本题可以从以下四个方面分析:

(1)卫星A、B绕地球做圆周运动的向心力与卫星和地球引力的关系。 (2)卫星A、B运动的周期的关系,如何用地球的自转周期表示卫星B绕地球运动

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的周期。

(3)卫星A、B不能直接通讯是因为中间被地球挡住,考虑卫星A、B和地球的几何关系。

(4)考虑卫星A、B转动快慢对直接通讯的影响。

【解析】(1)设卫星B绕地球转动的周期为T′,根据万有引力定律和圆周运动的规律有

Mm2?2?m()h① 2hTMm?2?G2?m?()2r② rT?G式中,G为引力常量,M为地球的质量,m、m′分别为卫星A、B的质量。

r1由①②式得T??()2T③

h(2)设卫星A和B连续不断地不能直接通讯的时间间隔为τ;在此时间间隔τ内,卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′,则

???T2?④

????T?2?⑤

若不考虑卫星A的公转,两卫星不能直接通讯时,卫星B的位置应在图中B和 B′点之间,图中内圆表示地球的赤道。

由几何关系得 ?BOB??2(arcsinRR?arcsin) ⑥ hr由③式知,当r

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由③④⑤⑥⑦得

??r323232(arcsin?(h?r)RR?arcsin)T hr323r1??()2T答案:T(1)

(2)

r3(arcsinRR?arcsin)T ?(h2?r2)hr- 15 - h