波利亚“怎样解题表”在高等数学教学中的运用

波利亚“怎样解题表”在高等数学教学中的运用

——以两道习题的解题思路分析为案例

徐彦辉

（浙江温州大学数信学院 325035）

摘要：波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解题方法和套路,本文通过以两道习题的解题思路分析 为案例,探讨了数学教学中如何运用波利亚的“怎样解题表”. 关键词：波利亚;怎样解题表;解题教学;高等数学

乔治·波利亚(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利数学家、教育家,是法国科学院、美国科学院和匈牙利科学院的院士.在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域,都做出了开创性的贡献,与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典.

波利亚还是数学教育的大师,是数学启发法现代研究的先驱,是数学解题方法论的开拓者,他致力于解题的研究,并把研究所得写成《怎样解题》一书.这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》,包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四个步骤.具体如下:第一.弄清问题.即“已知是什么?未知是什么?条件是否充分,或者是否多余?画张图,引入适当的符号,把条件的各个部分分开,你能否把它们写下来?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”第二.拟定计划.即“找出已知与未知之间的联系.你以前见过这个问题吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素?如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题,一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知或数据,或者二者都改变,以使新未知和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?”第三.实现计划.即“实现你的求解计划,检验每一步骤并确定这一步骤的正确性,证明你所做的每一个步骤.”第四.回顾.即“及时总结解题的经验与教训. 你能检验这个论证吗？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能对这个结果

基金项目:教育部人文社科2012年青年基金项目《数学理解的认知科学基础及其应用研究（立项编号:12YJC880131》

作者简介：徐彦辉（1975—）,男,江西丰城人,讲师,博士,主要研究方向:数学教育,教师教育, ,E-mail: wzxuyanhui@126.com

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作出改进或推广？你能把这个结果或方法用于解决其他的问题吗?你能提出新的问题吗?”

《怎样解题表》中的这四个阶段是一个四步骤的宏观解题程序,其中“实现计划”虽为主体工作,但较为容易完成,是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置;“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程,是成功解决问题的一个必要前提;与前两者相比,“回顾”是最容易被忽视的阶段,波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来,是一个有远见的做法;在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容,“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程,这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．波利亚说他在写这些东西时,脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程,实际上是他解决研究问题时思维过程的总结,基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露,其数学功底、过程体验和发现经历起着十分重要的作用,这正是数学家在研究数学教育,特别是研究解题教学时的优势所在,绝非“纸上谈兵”.仔细想一想,我们在解题时,为了找到解法,实际上也思考过解题表中的某些问题,只不过不自觉,没有意识到罢了.现在波利亚把这些问题和建议整理出来以引导我们去寻找解法,这样,在解题的过程中,就能使我们的思维受到良好的训练.久而久之,不仅提高了解题能力,而且能潜移默化地养成了有益的思维习惯,这是比任何具体的数学知识重要得多的东西.可以说,波利亚的“怎样解题表”给我们提供了进行解题训练的典范,它较好地反映了解题过程中的一些心理机制,从而为我们的数学教育教学提供了一些有益的启示.[1]

以下是高等数学教学中实践波利亚《怎样解题表》的两个示例,能够展示波利亚解题风格的心路历程,栩栩如生,希望能给读者以启示．

1?2?2nx,0?x?2n?11?2fn(x)??2n?2nx,?x?,n?1,2,?2nn?1?0,?x?1?n?例1:定义在[0,1]上的函数列

,判断

fn(x)在[0,1]上是否一致收敛.

一、弄清题意

问题1:已知是什么?

已知的是fn(x)这个函数列定义在[0,1]上的表达式. 问题2:未知是什么,要求解的是什么?

未知的是fn(x)在[0,1]上的收敛性,要求解的是它在[0,1]上是否一致收敛. 问题3:可否画一个图形来辅助解题?

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取n=1,2,3,作图.如图所示:可以发现:(1)当n取定时,其图形都为对称图形;(2) 当n取定时,fn(x)有最大值.

问题4:可否数学化?

通过图像可有一些转化:(1)fn(0)?0,则limfn(0)?0?f(0);

n??(2) 当0?x?1时,当n?1x,即x?1n时, fn(0)?0.

二、拟定计划

问题5:你是否知道用得上的定义、定理或公式?

定理:函数列?fn?在区间D上一致收敛的充要条件是limSupfn(x)?f(x)?0.

n??x?D问题6:你能否利用与现在的题目相关的题目? 判断fn(x)?xn,n?1,2,?在D?[0,1000]上是否一致收敛.

x解:?x?[0,??),lim?0?f(x),则fn(x)?f(x)?.则supfn(x)?f(x)?sup?n??xx1000nnnx?Dx?Dnn????0,

?xn一致收敛于0 (x?[0,1000]).

11n三、执行计划

??0;当0?x?1时,且当n?(即x?解:当x?0时,fn(0)?0?n????x??0. )时,fn(x)?0?n???????0. ?综上, fn(x)在[0,1]上, fn(x)?n???令limfn(x)?f(x),即f(x)?0.根据定理supfn(x)?f(x)?supfn(x)?maxfn(x)?fn()?n,

n??1x?[0,1]x?[0,1]x?[0,1]2n?????0,?fn(x)在[0,1]上不一致收敛. 又?supfn(x)?f(x)?n?n????x?[0,1]四、检验回顾

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问题7:你能利用这样一种方法吗?

借助上述定理,深入理解,则可灵活应用该定理和方法. 问题8:你能找到什么方法检验你的结果?

借助一致收敛定义:设函数列?fn?与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数?,总存在某一正整数N,使得当n?N时,对一切x?D,都有

fn(x)?f(x)??,则称函数列?fn?在D上一致收敛f.

不一致收敛的定义为: ??0?0,?N,?n0?N,?x0?D,使得fn(x0)?f(x0)??0.

0?可以通过不一致收敛的定义来检验所做的结果.

例2:已知lim(1?n???1n)?e,求证:

1n!nlim(1?1?n???12!?13!???1n!)?e,由此推出公

式:e?1?1?12!?13!?????nn!?n.其中0??n?1,并计算e准确到10?5.

一、弄清题意

问题1:已知是什么?已知lim(1?)n?e.

n???1n问题2:未知是什么,要求证的是什么? 求证:lim(1?1?n???12!3!?1???1n!)?e,由此推出公式:e?1?1?12!3!?1???1n!n!?n??n.

所证明的等式左边是没见过的有关阶乘的极限,右边是数e. 二、拟定计划

你知道不知道与此有关的定理?不清楚,对于这种关于阶乘的极限确实没做过.结论是否可能成立?或者结论不成立的可能性是否更大些?感觉结论不成立的可能性更大些,因为等式左边的值随着n的增大会越来越大,而且增大的幅度很大.你要做的是什么?证明结论或者推翻它.你想先用什么特例来检验这个定理吗?对,我想这样做.

我们令Sn?10!?11!???1n!, (n?0,1,2,?).

当n?0时,S0?1,此时e?S0?e?1;当n?1时,S1?2,此时e?S1?e?2?e?S0; 当n?2时,S2?,此时e?S2?e??e?S1;当n?3时,S3?5582233?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??4

,此时e?S3?e??e?S2;

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