由这些计算我们可以看出,随着n的增大,e?Sn的差值会越来越小,也就是说Sn越来越接近e,这一现象好像与所证的结论很符合.
但是,Sn会超出e吗?如果Sn?e,由于Sn是递增数列,那么Sn将永远远离e,这时limSn将不会趋于e.这样,我们只要找出一个N,使得SN?e,那么马上就能
n??推翻结论了,这简直就是事半功倍、不费吹灰之力的事了.
可是,这个N到底多少大呢?不妨取N?10,此时,Sn?1?1?我们再取N?100,此时,Sn?1?1?12!???1100!12!???110!?e.
?e,这时,我们忽然有一种Sn总是
小于e的感觉.而对于更大的N,我们就需要借助于高级计算机了,所以不可能再取更大的N来验证,看来要改变思想了.
证明定理:条件还能减弱吗?不,不可能,这条件是两个重要极限之一. 你能不能使结论更明确些?应该不能了.
你有没有把问题里的所有主要概念都考虑过?不,没有,也许毛病就在这里.
你没有考虑到哪些东西?
lim(1?n???1n)?e的证明和e的有关性质.
n极限有哪些证明方法?(定义法,柯西判别法,夹逼定理)
e有哪些性质? e?lim(1?n???n1n),对了,(1?n1n)n中有阶乘.
三、执行计划
我们令xn?(1?固定k,当n?k时有
xn?1?1?12!(1?1n)?13!(1?1n)(1?12!?2n13!)??????1k!1k!(1?1n)(1?2n)?(1?k?1n),
1n),将xn展开得:xn?1?n?1n?n(n?1)2?1n2???1nn.任意
两端令n??取极限得e?1?1?e?lim(1?1?k??,由于此式对任何k均成立,故得
12!?13!????1k!).
1?1???1n! 而另一方面,由xn的展开式知:对任何n,有xn?1?1?2!3!,两端令n??1?1???1n!).
取极限,得e?lim(1?1?n??12!3!?1???1n!),于是由夹逼定理可得e?lim(1?1?n??2!3! 5
令wn?1?1?12!3!?1???1n!,则有0?wn?m?wn?1(n?1)!1[1?1n?2(n?2)?1???21(n?2)]?m?11(n?1)!n?1?n?2.
固定n,并证m??取极限得0?e?wn?从而可得e?1?1?1?1???1?(n?1)!n?1?n?2.由
111得0?e?w??. ?n2n!n(n?1)nn?2?n2!3!n!n!?n,0??n?1,而e?2.71828?0.00001.
四、回顾与反思
对于这道习题,我们的解题思路是这样的:第一步,我们考察了结论的具体特 例之后,就彻底了解了这个结论,懂得了它的全部含义,认识到它的条件很重要,结论也很明确;第二步,用几个特例验证了定理之后,就得到了不少归纳证据.归纳阶段的结果解除了我们起初对定理的怀疑,使我们对定理有了坚定的信心;第三步,我们对(1?)n的展开式进行了分析,并发现其中有关阶乘的式子,最终用夹逼定
n1理完成了证明.
通过对以上两道习题解题思路的分析,使我们对波利亚的怎样解题表有了更深的体会.其实,解题表给予我们的是一种思维方式,它使我们的思维更有层次感,给我们一种循序渐进地接近结果的方法.对于一些看起来无从下手的题目,利用解题表一步一步来,可以把问题简单化,从而,从这些基本步骤中看到一些突破点.可以说,波利亚的解题表不仅提供了一种优越的解题方法和技巧,更能让学生沟通知识之间的联系,学会探索的方法.而且,教师进行教学时,借助于解题表的分析,也有利于解释思路的获得和形成过程.正如波利亚所指出:如果你能恰当地使用这些问题和建议,而对你自己提出它们,那么它们也许能帮助你解决你的题目.如果你能恰当地使用这些同样的问题和建议,进而向你的学生提出它们,你也许就可以帮助他解决他的题目.??聪明的人会向自己提出这些问题和建议,聪明的教师也会向他的学生提出.收集这样的问题和建议,以充分的普遍性和整洁的顺序陈述出来,这也许不如点金石那样称心如意,但它是切实可行的.我们所学习的表就提供了这样的内容.[2]教师应拿出一定的课时,像波利亚那样,用典型的例子来说明怎样解题,并引导学生有意识运用诸如“怎样解题表”中类似的问句和导论进行针对性的训练,一定会受益匪浅.[1]
但是,对于熟练的解题者来说,要去实践整个解题表的过程,有时反而会显得有些繁琐和浪费时间,因为问题解决无法去走现成的道路,只能在困难中去寻找道路,在重重障碍中寻找道路,而按照解题表的步骤可能会限制自己的思维.因为在长期的解题训练和实践中,我们已经掌握了基本的题型以及方法步骤,一般可以根据直觉直接获得解题思路和想法,并不需要那么多的繁琐过程和步骤去实践解题表.所以,解题表固然有一定的科学性,但我们应该选择性地利用,这样对我们的帮助会更大.正如波利亚所指出:聪明的解题者会发现我们表中的那些问题
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和建议很有用.他能很好地理解用来说明某一个问题的解释和例子.他会猜到该问题的正确用法,但是除非他自己偶然发现了一个解题过程(它是该问题力图在他的工作中引发的),并在体验到它的用处后自己发现了该问题的正确用法,否则他就不能达到真正的理解.[2]
参考文献:
[1]李保臻,刘凯峰.波利亚“怎样解题表”的心理机制分析及其启示[J].西北师范大学学报(自然科学版),2003,39(2):101.
[2][美]波利亚著.涂泓,冯承天译.怎样解题:数学教学法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版
社,2002.引言.173-174.208.
Polya’s chart of how to solve problem and its application to teach
college mathematics
Xu Yan-hui
(College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou 325035)
Abstract: Polya’s chart of how to solve problem supplied us with a set of methods and of solving problem. By
analysing the mechanism of solving two problems in college mathematics, the author gave some advice to use Polya’s chart of how to solve problem when teaching mathematics.
Key words: Polya ; chart of how to solve problem; teaching of solving problem ; college mathematics
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