综上所述，总有|
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k?1n（2010天津文数）（20）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=ax?332x?1(x?R)，其中a>0. 2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间???11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22??【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f’(x)=3x2?3x, f’(2)=6.2所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=3ax?3x?3x(ax?1).令f’(x)=0，解得x=0或x=以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则X f’(x) f(x) 21. a11?，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： a20 0 ?1?0? ??，?2?+ ?1??0，? ?2?- 极大值 1?5?a?f(?)?0,?8?0,????11?2即? 当x???，?时，f（x）>0等价于?
15?a22???f()?0,??0.???2?8 解不等式组得-5 （2） 若a>2，则0?11?.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： a2X f’(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ 0 0 极大值 ?1??0，? ?a?- 1 a0 极小值 ?11??，? ?a2?+ ?5?a?1>0,f(-)>0,??11????82当x???，?时，f（x）>0等价于?即? 11?22??f()>0,?1->0.2???a?2a解不等式组得22.因此2 （2010天津理数）（21）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?xc?x(x?R) （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当 x?1时，f(x)?g(x) （Ⅲ）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2 【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X (??,1) 1 (1,??) ?x f’(x) f(x) + 0 极大值 - 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= 1 ex?2（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x 当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2?1?0,又e?x?0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1） 若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。 根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1. 由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而 -1-1f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1） 内事增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2. （2010福建文数）22．（本小题满分14分） 已知函数f（x）= 13x?x2?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 3(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+ m是[2,??]上的增函数。 x?1 （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
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