同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-2汇编

习题6?2

1 求图6?21 中各画斜线部分的面积 (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0

1] A??12310(x?x)dx?[3x2?12x2]10?6. (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 A??10(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1

A??elnydy?ylny|e11??e1dy?e?(e?1)?1

(3)

所求的面积为

1] 所求的面积为e] 所求的面积为

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3 A???3[(3?x2)?2x]dx?3231 1] 所求的面积为

(4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1132 A???1(2x?3?x2)dx?(x2?3x?x3)|3?1?333 3] 所求的面积为

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? 1 (1) y?x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

222218 A1?2?0(8?x2?x2)dx?2?08?x2dx??0x2dx?2?08?x2dx?

23 ?16?4cos2tdt?8?2??4?

033? A2?(22)2??S1?6??4?

3 (2)y?1与直线y?x及x?2?

x 解?

所求的面积为

A??(x?1)dx?3?ln2?

1x22 (3) y?ex? y?e?x与直线x?1?

解?

所求的面积为

11 A??0(ex?e?x)dx?e??2?

e (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解

所求的面积为

b A??lnaeydy?eyln lna?b?alnb3? 求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?

y???2 x?4?

过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y??2x?6? 两切线的交点为(3, 3)? 所求的面积为

2 A??02[4x?3?(?x2?4x?3)]??3[?2x?6?(?x2?4x?3]dx?9?

4233p 4? 求抛物线y2=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积?

2 解

2y?y??2p

y??pp?1y(2,p)p 在点(,p)处

2 法线的斜率k??13p?y2

p法线的方程为y?p??(x?)2 即x?

p求得法线与抛物线的两个交点为(,p)和(9p,?3p)22

法线与抛物线所围成的图形的面积为 A??(?3pp3py23pp?y?)dy?(y?1y2?1y3)??16p23p22p226p3

5? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?

(1)?2acos? ?? 解?

所求的面积为

??1222 A???(2acos?)d??4a?02cos2?d???a2? 2?2 (2)x?acos3t, y?asin3t; 解

所求的面积为 A?4?0ydx?4?

a332224?(asint)d(acost)?4a03costsintdt20??

?12a2[02sin4tdt?02sin6tdt]?3?a28????