∴△DAE∽△ACB ∴ 在△AFE和△ACB中
ADACAD12?? 即DEABx15 ∵∠FAE=∠CAB ∠AFE=∠ACB=90°∴△AFE∽△ACB ∴
15612EFBC 即 ? ∴AE=?2AE15AEAB 在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B ∴tan∠AEF=tan∠B
ADACAD12? 即 ?
15AEBC9225∴AD=10 ∴x?
2∴
∴当x?25129时，△PBC的周长最小，此时y?． 22 注意：这道题的第二问的解答太复杂，可以不看。但是，这里介绍了一种求线段长度的方法。我们知道，可以利用“全等三角形对应边相等”求线段的长度，实际上，还可以利用“相似三角形对应线段成比例”求线段的长度。题目中先后两次使用相似三角形。
例6 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. 设AP=x, △PBE的面积为y.
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）过P作PF⊥BC，垂足为F 在Rt△CPF和Rt△CAB中
∵∠PCF=∠ACB ∠CFP=∠CBA=90°
∴△CPF∽△CAB ∴
CPCFPF?? ∴CACBABAPD2?xCFPF?? 112BFEC∴CF=PF=1-2x BE=2BF=2x 2 y=
12x12×2x（1-）=?x2?x（0＜x＜2）
2222
12121221（2）y=?x2?x=y??x2?x??(x?)?.
22224221∵a??1＜0 ∴ 当x?2时，y最大值?.
422 注意：在这个问题中二次函数y=?1x2?2x（0＜x＜2）中自变量x有
22实际意义----线段AP的长度，且0＜x＜2，因此，这个函数的图象只能是二
12次函数y=?1x2?2x图象上0＜x＜2的一段，这时抛物线的顶点（，）
4222正好在这一段上。
4例7 如图，直线y??x?4和x轴，y轴的交点分别为B，C，点A的坐
3标是(?2，动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线0)．段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）设点M运动t秒时，△MON的面积为S求S与t的函数关系式； （3）当点M在线段OB上运动时，是否存在S?4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
（4）在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
4解：（1）将y?0代入y??x?4 得x?3，
3yC∴点B的坐标为(3，0)；
4将x?0代入y??x?4 得y?4
34)． ∴点C的坐标为(0，AOBx
在Rt△OBC中，?OC?4，OB?3，?BC?5．
0)，?AB?5，?AB?BC， 又A(?2，?△ABC是等腰三角形．
（2）?AB?BC?5
故点M，N同时开始运动，同时停止运动． 过点N作ND?x轴于D 在Rt△BND和Rt△BCO中 ∵sin∠OBC=
DNOC4?? BNBC5yC∴DN=BNsin∠OBC=
4t 5AN M O图甲
D Bx当0?t?2时（如图甲），OM?2?t，
224411 ∴S=OM·DN=（2- t）t= -t+t（0?t?2）
55225当2?t≤5时（如图乙），OM?t?2，
y41124∴S=OM·DN=（t -2）t ?t2?t（2?t≤5） 22555CN （3）存在S?4的情形．
24当S?4时，t2?t?4．
55A解得t1?1?11，t2?1?11（不合题意，舍去）． OM D B图乙
xt?1?11?5，故当S?4时，t?1?11秒． （4）①如图，当MN?x轴时，△MON为直角三角形．
y
在Rt△BNM和Rt△BCO中 ∵cos∠CBO=
BMBO3?? BNBC5AOCN3 BN=t，BM=5-t ∴BM=t=5-t
525 ∴t?
8MBx②如图，当点M，N分别运动到点B，C时，△MON为直角三角形，
y∴t?5．
故△MON为直角三角形时，t?
AOC（N）25秒或t?5秒． 8B（M） x
相关推荐：
loading