数理方程例题I

数学物理方程例题和习题

（2009-10-31）

一、二阶常微分方程常数变易法

二阶常微分方程初值问题

?y??(x)??2y(x)?f(x),x?0 ???y(0)??,y(0)??先考虑对应齐次方程：y????2y?0。利用辅助方程

m2??2?0，? m??i?

得齐次方程通解

y(x)?C1cos(?x)?C2sin(?x)

将常数替换为待定的函数，即

y(x)?u(x)cos(?x)?v(x)sin(?x)

有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人

为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得

y??[u?cos(?x)?v?sin(?x)]?[??usin(?x)??vcos(?x)] 在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式

u?cos(?x)?v?sin(?x)?0

同时，由

y????usin(?x)??vcos(?x)

继续求导数，得

y???[??u?sin(?x)??v?cos(?x)]?[?2ucos(?x)??2vsin(?x)]

代入方程，得第二个等式

??u?sin(?x)??v?cos(?x)?f

将两个等式联立，得线性代数方程组

?u?cos(?x)?vsin(?x)?0 ??????usin(?x)??vcos(?x)?f或写成矩阵形式

sin(?x)??u???0??cos(?x)???sin(?x)?cos(?x)??v????f? ??????上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于

??利用克莱姆法则解方程组，有

cos(?x)sin(?x)??

??sin(?x)?cos(?x)0sin(?x)cos(?x)?1???f(x)sin(?x)，?2?f?cos(?x)??sin(?x)u???1/???10?f(x)cos(?x) f?f(x)sin(?x)，v???2/??1?f(x)cos(?x)

积分，得两个待定函数表达式

u(x)????1x0f(?)sin(??)d??C1，v(x)???1x0f(?)cos(??)dgx?C2

代入常数变易法假设的函数中，得

y?C1cos(?x)?C2sin(?x)

?1?cos(?x)?sin(??)f(?)dx?0x1?sin(?x)?cos(??)f(?)d?

0x利用初始条件确定任意常数C1和C2，显然

C1??，C2??/?

代入并利用三角函数和差化积公式，得

?1xy(x)??cos(?x)?sin(?x)??sin[?(x??)]f(?)d?

??0

二、二阶偏微分方程分类与化简

例1．判别二阶微分方程 uxx?10uxy?9uyy?0 的类型并求通解。 解：利用判别式

2??a12?a11a22?25?9?0

所以方程是双曲型方程。构造辅助方程

?2?10??9?0

解得：?1?9，?2?1，由

dydy?9，?1 dxdx积分，得

y?9x?C1，y?x?C2

由此构造变换

??9x?y，??x?y

显然，变换矩阵为

??x?y??9?1?Q?????? ??1?1y????x且

?15??1???4??1]??[9?1]???1???4???32?0

59??????将变换表达式代入方程，化简得u???0，对其积分，得

u?f(?)?g(?)

其中，f,g是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解

[9u?f(9x?y)?g(x?y)

三、分离变量法 1．固有值问题

（1）第一类边界条件固有值问题

?X????X?0,x?(0,L) ?X(0)?0,X(L)?0?固有值和固有函数

?n?(n?2n?)，Xn(x)?sinx，（n=1，2，……） LL（2）第二类边界条的固有值问题

?X????X?0,x?(0,L) ???X(0)?0,X(L)?0?固有值和固有函数

?n?(例2．求解欧拉方程固有值问题

n?2n?)，Xn(x)?cosx LL2??xy???xy???y?0 ???yx?1?0,yx?e?0t)，即t?lnx，未知函数的导数为 解：作变换：x?exp(dydydt1dy?? dxdtdxxdtd2y1dy1ddy1d2ydy??2?()?2(2?) 2dtdxxdtxdxdtxdx代入微分方程，得

d2ydydy(2?)???y?0

dtdtdtd2y方程化简为：2??y?0，

dt对应边界条件：yt?0?0,yt?1?0

所以固有值和固有函数为：?n?(n?)2，y?sinn?t 代回原自变量，固有函数为：y?sin(n?lnx)

2．双曲型方程分离变量法

?utt?a2uxx,(0?x?L,t?0)? ?ux?0?0,ux?L?0??ut?0??(x),utt?0??(x)满足边界条件和初值条件的解为

u(x,t)??[Cncosn?1?n?an?an?t?Dnsint]sinx LLL其中系数

Cn?2Ln?2Ln??(?)sin?d?D??(?)sin?d?，，（n=1，2，……） nL?0Ln?a?0L例3．求解双曲型方程初边值问题

?utt?a2uxx,x?(0,?),t?(0,??)?? ?ux?0?0,ux???0???ut?0?sinx,utt?0?0解：对应的固有值和固有函数分别为：?n?n2，Xn(x)?sinnx，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为

u(x,t)??[Cncosant?Dnsinant]sinnx

n?1?利用初值条件，得

?Cn?1?nsinnx?sinx，a?nDnsinnx?0

n?1?对比等式两端，得

C1=1，Cn =0，（n=2，3，……）；Dn = 0，（n=1，2，……）

所以初边值问题的解为

u(x,t)?cosatsinx

2．抛物型方程分离变量法

例4．求解抛物型方程初边值问题

?ut?a2uxx,x?(0,?),t?(0,??)?? ?ux?0?0,ux???0???ut?0?sinx解：对应的固有值和固有函数分别为：?n?n2，Xn(x)?sinnx，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为

u(x,t)??Cnexp(?a2n2t)sinnx

n?1?利用初值条件，得

?Cn?1?nsinnx?sinx

对比等式两端，得

C1=1，Cn =0，（n=2，3，……）

所以初边值问题的解为

u(x,t)?exp(?a2t)sinx

例5．分离变量法求解热传导问题