数理方程例题I

提取上式右端的实部，得

F[f(x)]??/acos(六、格林函数方法

通常狄利克雷-格林函数是指如下泊松问题

?2?a?4a)

????G??(M),M?? ???GS?0的解。其中，?是求解区域，而S是?的边界。

由于方程是非齐次方程，可以将格林函数设想为非齐次方程的特解v和对应齐次方程的解w两部分，即

G= v – w

这里，v是非齐次方程（泊松方程）的特解，满足方程 – ?v = ?(M)，不满足边界条件；w是齐次方程（拉普拉斯方程）的解，满足方程 ?w = 0，也不满足边界条件。

1．二维问题的特解

1??v1?2v(r)?2??(r) 方程的极坐标形式：?2r?r?rr??假设特解具有对称性，即

?v1??v?0。方程化为：?(r)??(r) ??r?r?r2?r在半径为r的圆域内，对化简后的方程两端积分，得

??d??00??v(?)d??1 ????整理，得：?2?r?v?v1111?1，再次对??ln。 积分，得特解：v??r?r2?r2?r2．三维问题的特解

1?2?v1?v1?2v方程的球坐标形式：?2(r)?2sin??2??(r) 22?r??rsin???r?rrsin?假设特解具有球对称性，即

?v1?2?v?v?0，(r)??(r) ?0。方程化为：?2???rr?r??在半径为r的球域内，对化简后的方程两端积分，得

??d??sin?d??002??r0??v(?2)d??1 ????整理，得：?4?r2?v?v11?1，再次对??v?积分，得特解： 2?r?r4?r4?r例12．求半径为R的半圆域上的Dirichler-Green函数

解：设M(x，y)是圆域内的任意一点，

M0(x0，y0)是圆域内一定点。构造M0的镜像点如下：

y M1 M M0 O M2 x M1(x1，y1) M2(x0，– y0) M3(x1，– y1)

其中，M1是M0关于上半圆的圆外镜像点，M2是M0关于x轴的域外镜像点，M3既是M1关于x轴的镜像点也是M2关于虚圆的镜

像点。动点M到M0以及各镜像点距离

rMM0?(x?x220)?(y?y0)rMM1?(x?x21)2?(y?y1)

rMM2?(x?x20)2?(y?y0) rMM3?(x?x21)2?(y?y1)

利用镜像点构造半圆域上的Green函数如下

G(M,M0)?12?[ln1r?ln1?ln1r?ln1] MM0rMM1MM2rMM3利用对数函数性质，得

G(M,M120)2?lnrMM1rMMr MM0rMM3M3