1.（2014。浙江台州中学期中）公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和，若a8+ak=0则k等于 ( ) A . 20 B . 21 C . 22 D. 23
选C，K=22; a1+a2+.......+a8=a1+a2+.......................+a21 则 a9+a10+a11+.......+a21=0
而a9＋a10＋a11……＋a21＝0所以a9＋a21＝a10＋a20＝……＝0 所以a8＋a22＝a9＋a21＝0 k＝22。
2.(2014.浙江杜桥中学期中)已知等比数列{an}中a3=16,a4=8,则a8= ( ) A. 128 B. 64 C. 1/4 D.1/2
3.已知{an}是等比数列，对任意n∈N*,an>0恒成立且a1a3+2a2a5+a4a6=36，则a2+a5等于
（ ）
A. 36 B. ±6 C. -6 D.6
选D ∵?n∈N*，an＞0 ∴a1a3+2a2a5+a4a6=（a2+a5）2=36， ∴a2+a5=6．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9的值等于 A. 54 B. 45 C. 36 D.27
选A ∵a5+a11=2·a8 ∴a5+a11=6+a11 ∴a5=6 ∴S9=9·a5=54 5.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，若S13=256/3,1/a1+1/a2+1/a3+…+1/a13=8/3,则
log2(a6a8)的值为多少 ( )
A. 4 B. 5 C. 16 D.32 选B S13=256/3=a1(1-q^13)/1-q;
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/a13=8/3=(1/a1)(1-(1/q)^13)/(1-(1/q))=(1/a1)(q^13-1)/(q^12(q-1)); 两式作比：a1^2*q^12=(a1*q^6)^2=a7^2=256/8=32得log2(a6a8)=log2(a7^2)=log2(32)=5
6.已知{an}是首项为1的等差数列，Sn是{an}的前n项和，且S5=a13,则数列{1/anan+1}的前五项和为 ( ) A. 10/11 B. 5/11 C. 4/5 D.2/5
选B 设等差数列{an}的公差为d， ∵S5=a13，∴5×1+5*4/2d=1+12d, 解得d=2．
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1． ∴1/anan+1=1/(2n-1)(2n+1)=1/2(1/2n-1 - 1/2n+1) ∴数列{1/anan+1}的前n项和
Tn=1/2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+?+(1/2n-1 - 1/2n+1)]=1/2(1-1/2n+1)=n/2n+1∴T5=5/2*5+1=5/11
7．已知数列{an}的通项公式an=2^n(3n-13),则数列的前n项和Sn的最小值是 ( ) A. S3 B. S4 C. S5 D.S6
选B an是个增数列，所以Sn取最小值时，应有an<0,an+1>0因为2^n恒大于零，所以3n-13<0 ,3(n+1)-13>0,
解得10/3 8.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2=1,前6项和的方差为35/3，则a3S3的值为 ( ) A．-9 B. 3 C. ±9 D.9 选D ∵等差数列{an}， ∵a1，a2，a3，a4，a5，a6是等差数列， ∴这组数据的平均数是M=（a3+a4 ） /2=（a2+d+ a2+2d）/2= a2+ 3/2d，又∵(a1 –M)^2=[ a1 – (a2+ 3/2d)]^2=[ a2 –d - (a2+ 3/2d)]=(-5/2d)^2 同理可得(a2 –M)^2= (-3/2d)^2 (a3 –M)^2= (-1/2d)^2 (a4 –M)^2= (1/2d)^2 (a5 –M)^2= (3/2d)^2 (a6 –M)^2= (5/2d)^2 ∴1/6（(a1 –M)^2+(a2 –M)^2+(a3 –M)^2+ (a4 –M)^2+ (a5 –M)^2+(a6 –M)^2） =1/6（(-5/2d)^2+(-3/2d)^2+(-1/2d)^2 +(1/2d)^2 + (3/2d)^2+(5/2d)^2）=1/6*70/4d^2=35/3解得d=±2 当d=2是a1=a2-d=-1 ,a3=a2+d=3,S3=a1+a2+a3=3, ∴a3S3=3*3=9 当d=-2时a1=a2-d=3 ,a3=a2+d=-1,S3=a1+a2+a3=3, ∴a3S3=-1*3=-3选项中没有 所以选D 9.已知数列{an}是1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是1为首项，2为公比的等比数列，设cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N*),则当Tn>2013时，n的最小值是 ( ) A．7 B. 9 C. 10 D.11 选C 解析：依题意可求得a=2n-1；b=2 n n n-1 ，cn=abn=a2^(n-1)=2.2^(n-1)-1=2^n-1 Tn=2^1-1+2^2-1+2^3-1+?+2^n-1=2(1-2^n)/(1-2)-n=2^(n+1)-2 则Tn>2013即2^(n+1)-2>2013, n=9时Tn=1024<2013,n=10时，n=2048>2013所以n=10 10.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得根号am*an=4a1,则，1/m+9/n的最小值为 ( ) A．8/3 B. 11/4 C. 14/5 D.17/6 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a7=a6+2a5，则a1?q6=a1?q5+2a1?q4 即q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）若根号下am*an=4a1则am*an=16a1^2即a1q^(m-1)*a1q^(n-1)=16a1^2,即2^(m+n-2)=2^4 所以m+n-2=4,m+n=6 则6（1/m+9/n）=(m+n)(1/m+9/n)=10+(n/m+9m/n)>=10+2√9=10+3=13 则1/m+9/n>=13/6 11.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x^2-bnx+2^n的两个零点，则b10等于 ( ) A．24 B. 32 C. 48 D.64 选D ; 根据韦达定理，an+a(n+1)=bn，an*a(n+1)=2^n通过第二个式子可以推一下：a2=2/a1=2，a3=4/a2=2， a4=8/a3=4……最后得到a10=32，a11=32，那么b10=a10+a11=64 12．已知函数f(x)=x^2+bx的图像在点A（1，f(1)）处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1/f(n)}的前n项和为Sn，则S2011的值为 ( ) A．2010/2011 B. 2009/2010 C. 2011/2012 D.2012/2013 选C ; f’(x)=2x+b 直线3x-y+2=0的斜率为3 所以f’(1)=2+b=3， 得：b=1 故f(x)=x^2+x 设an=1/f(n)=1/(n^2+n)=1/n-1/(n+1) 所以Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1) 所以S2011=2011/2012 二填空题 13.已知数列{an}为等比数列，若a1+a3=5,a2+a4=10,则公比q=_______ q=2 解析：a1+a3=a1+a1*q2=5 a2+a4=a1*q+a1*q3=10 联解上面的方程组解得a1=1，q=2 14.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-2,a2=b2=4,则满足an=bn的n的所有取值构成的集合是___________ {1，2，4} 解析：an=a1+(n-1)d ，bn=b1.q^(n-1)；a1=b1=-2，a2=b2=4即a1+d=b1q=4 解得d=6, q= -2，所以an = -2+6(n-1)=6n-8，bn=(-2)^n，又an =bn 所以n={1, 2 ,4} 15.在等比数列{an}中，若a5+a6+a7+a8=15/8,a6a7=-9/8,则1/a5+1/a6+1/a7+1/a8=___________ -5/3 解析：a5+a6+a7+a8=a1q^4(1+q+q^2+q^3)=15/8 a6a7=a1^2q^11=-9/8 所以1/a6a7=1/ a1^2q^11=-8/9 所以（a5+a6+a7+a8）（1/a6a7）=15/8*(-8/9)=-5/3 即1/a8+1/a7+1/a6+1/a5=-5/3 16.已知数列{an},若点（n,an）(n∈N*)在直线y-3=k(x-6)上，则数列{an}的前11项和S11=______ 33 解析：∵若点（n,an）(n∈N*)在直线y-3=k(x-6)上 ∴an-3=k(n-6) ∴an=kn+3-6k ∴数列{an}是等差数列 ∴S11=11(a1+a11)/2=11(3-5k+11k+3-6k)/2=33 17.在公差不为0的等差数列{an}中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式 (2)设bn=2^an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，又a4=10，可得a3=10-d,a6=10+2d,a10=10+6d 由a3,a6,a10成等比数列得a3.a10=a6^2即（10-d）（10+6d）=（10+2d）^2整理得10d^2-10d=0， 解得d=0或d=1由d不等于0可得d=1 a1=a4-3d=10-3*1=7 所以an=a1+（n-1）d=n+6 ann?6a?n?6b?2(n?N*)b?2nnn（Ⅱ）由，，可得.所以 b1?21?6?128． bn?12n?7因为?n?6?2，所以数列?bn?是首项为128，公比为2的等比数列． bn2128(1?2n)所以?bn?的前n项和公式为Sn??2n?7?128 1?218.Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S4=S9,a1=-12 (1)求数列的通项an及Sn (2)求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an| （1）QS4?S9,a1??12,?4?(?12)?6d?9?(?12)?36d?d?2 ?an??12?2(n?1)?2n?14,Sn??12n?n(n?1)?n2?13n （2）令an当n?2n?14?0，得n?7 ；当n?7时，Tn??(a1?a2? ?an)??Sn?13n?n2 ?8时an?0Tn??(a1?a2? ?a7)?(a8? ?an)?Sn?2S7?n2?13n?84 19.已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1),a2+a4=5/4,a1a5=1/4,设bn=1/2nan(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{bn}的前n项和Sn 解（1）由题意知a2a4= a1a5=1/4又a2+a4=5/4联立方程∵q∈(0,1) ∴a2>a4∴解得a2=1,a4=1/4 ∴q=1/2,a1=2∴an=2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2) (2)由（1）知，an=(1/2)^(n-2) 所以bn=n(1/2)^(n-1) 所以Sn=1*(1/2)^0+2*(1/2)^1+3*（1/2）^2+…+(n-1)(1/2)^(n-2)+n(1/2)^(n-1) ① 1/2Sn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+3*（1/2）^3+…+(n-2)(1/2)^(n-2)+(n-1)(1/2)^(n-1) +n(1/2)^n② 1-2得： 1/2Sn=(1/2)^0+(1/2)^1+（1/2）^2+…(1/2)^(n-2) +(1/2)^(n-1) - n(1/2)^n =1*[1-(1/2^n)]/(1-1/2) - n(1/2)^n ∴ Sn=4-(1/2)^(n-2)-n(1/2)^(n-1)=4-(n+2)(1/2)^(n-1) 20.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2 (1)求数列{an}的通项公式 (2)设bn=an*log2[a(n+1)]，求数列{bn}的前n项和Tn (1)当n=1时，S1=a1=2a1-2解得a1=2, 当n>=2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-(2a(n-1)-2)即an/an-1=2,所以数列{an}是以2为公比的等比数列 所以 an=2^n (2)bn=2^n*log2[2^(n+1)]=(n+1)*2^n Tn=2*2+3*2^2+…+n*2^(n-1)+(n+1)*2^n 2Tn=2*2^2+3*2^3+…+n*2^n+(n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Tn=4+2^2+2^3+…+2^n-(n+1)2^(n+1)=-n.2^(n+1) 所以Tn= n.2^(n+1) 21学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种， 其中A是本校的传统套餐，B是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期一会有（0?r?1的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有r54）的学生改选A套餐，用an，bn分别表示在第n个星期选A套餐的人数和选5B套餐的人数． （I）用an?1表示an； （II）若r?3，且选A套餐的学生人数保持不变，求a1； 10（III）根据调查，存在一个常数k，使得数列?an?k}为等比数列，且k?[250,300]，求 r的取值范围． 4?a?an?1?rbn?14?n解：（I）由已知得?，所以an?an?1?r(500?an?1)， 55?a?b?500?n?1n?14得an?(?r)an?1?500r． 531（II） r?，? an?an?1?150?an?1 ? an?1?a1?300． 1024(n?1?k，) （III） {an?k}是等比数列，? an?k?(?r)a512500r41r，得k?得an?(?r)an?1?(?r)k，? (?r)k?500， 5r?1555250013?300，? ?r? k?[250,30，． 0?250?5r?151022．如果项数均为n?n?2,n?N??的两个数列{an}，{bn}满足 ak?bk?k(k?1,2,?,n),且集合{a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn}?{1,2,3,?,2n}，则称数列{an},{bn}是一对 “n项相关数列”. （Ⅰ）设{an},{bn}是一对“4项相关数列”，求a1?a2?a3?a4和b1?b2?b3?b4的值，并 写出一对“4项相关数列” {an},{bn}； （Ⅱ）是否存在 “15项相关数列” {an},{bn}？若存在，试写出一对{an},{bn}；若不存 在，请说明理由； （Ⅲ）对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶 数对． 解：（Ⅰ）依题意，a1?b1?1,a2?b2?2,a3?b3?3,a4?b4?4，相加得， a1?a2?a3?a4?(b1?b2?b3?b4)?10，又a1?a2?a3?a4?b1?b2?b3?b4?36， 则a1?a2?a3?a4?23，b1?b2?b3?b4?13. “4项相关数列”{an}：8，4，6，5；{bn}：7，2，3，1（不唯一）???3分 参考： （“4项相关数列”共6对： {an}：8，5，4，6；{bn}：7，3，1，2或{an}：7，3，5，8；{bn}：6，1，2，4 或{an}：3，8，7，5；{bn}：2，6，4，1或{an}：2，7，6，8；{bn}：1，5，3，4 或{an}：2，6，8，7；{bn}：1，4，5，3或{an}：8，4，6，5；{bn}：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在． {an},{bn}，理由如下：假设存在 “15项相关数列”则a1相加，得 ?b1?1,a2?b2?2,?,a15?b15?15， (a1?a2???a15)?(b1?b2???b15)?120 又由已知a1?a2???a15?b1?b2???b15?1?2???30?465，由此 项相关数列” 2(a1?a2???a15)?585，显然不可能，所以假设不成立。从而不存在 “15{an},{bn} （Ⅲ）对于确定的n，任取一对 “n项相关数列”{an},{bn}，令ck?2n?1?bk， dk?2n?1?ak(k?1,2,?,n)，先证{cn},{dn}也必为 “n项相关数列” ．因为ck?dk?(2n?1?bk)?(2n?1?ak)?ak?bk?k(k?1,2,?,n),又因为{a1,a2,,an,b1,b2,,bn}?{1,2,3,4,,2n}，很显然有 {(2n?1)?a1,(2n?1)?a2,?,(2n?1)?an,(2n?1)?b1,(2n?1)?b2,?,(2n?1)?bn}?{1,2,3,?,2n}，所以{cn},{dn}也必为 “n项相关数列”．再证数列{cn}与{an}是不同的数列．假 设{cn}与{an}相同，则{cn}的第二项c2即b2?2n?1?b2?a2，又a2?b2?2，则2b2?2n?1， ?2n?1显然矛盾．从而，符合条件的 “n项相关数列”有偶数对． ，2
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