2019年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 已知i是虚数单位，x∈R，复数z=（x+i）（2+i）为纯虚数，则2x-i的模等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
y满足不等式组 ，2. 已知x，则z=x+3y的最小值等于（ ）
11. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如
果三棱柱的体积为 ，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______．
222
12. 已知直线y=mx与圆C：（x-m）+（y-1）=m-1交于A，B两点，∠ACB=60°，则圆的面积为______．
=3 ， =2，AD=5，13. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，
的值是______． 则
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的（ ）
14. 若实数x，y满足2cos（x+y-1）=
2
，则xy的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函
数f（x）的图象关于点（ ，0）对称． （Ⅰ）当x∈（0， ）时，求f（x）的值域； （Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=
，求△ABC的面积．
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知偶函数f（x）在[0，2]上递减，试比a=f（1），b=f（ ），c=f（log2 ）大小（ ）
A. B. C.
D.
6. 为了得到函数y=3cos2x图象，只需把函数 图象上所有点（ ）
A. 向右平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 个单位长度
B. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度
7. 已知F1、F2分别是双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=
16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低
于40的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图． （1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生， ①列出所有可能的结果；
②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
， ∈ ，
，
，若
∈ ，
当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥ 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 2
9. 集合A={0，1，2，3}，B={x|x-2x≤0}，则A∩B=______．
3
10. 已知函数f（x）的导函数，满足f（x）=2xf'（1）+x，则f'（1）等于______．
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17. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，CC1⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．
18. 在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：
20. 已知f（x）=mx-alnx-m，g（x）= ，其中m，a均为实数，
（1）求g（x）的极值；
（2）设m=1，a=0，求证对 ， ∈ ， ， ＜ |恒成立；
（3）设a=2，若对 给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．
（Ⅲ）令
（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
19. 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正
三角形，且该三角形的面积为 ． （1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值， ∵P=1+3+…+（2n-1）=故输出的n=5． 故选：C．
×n=n2＞20，∴n≥5，
解：∵z=（x+i）（2+i）=（2x-1）+（x+2）i为纯虚数， ∴
，即x=．
．
∴2x-i=1-i，则2x-i的模等于故选：B．
算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键． 4.【答案】A
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得x，代入2x-i，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 2.【答案】A
【解析】
解：∵|x-2|＜1，
∴1＜x＜3， ∵“1＜x＜2”
解：画出满足条件的平面区域，如图示：
∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的充分不必要条件． 故选：A．
，
求解：|x-2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可． 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题． 5.【答案】D
【解析】
由z=x+3y得：y=-x+， 显然直线过（3，0）时，z最小， z的最小值是3， 故选：A．
画出满足条件的平面区域，将直线变形为y=-x+，通过图象读出即可． 本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题． 3.【答案】C
【解析】
解：∵∴
，
∵f（x）在[0，2]上递减， ∴f（）＞f（1）＞f（2）
又∵f（x）是偶函数，f（）=f（-）=∴故选：D．
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＞f（1）＞，即c＞a＞b
由对数的定义，可得b=f（2），c=f（-）=f（）．再结合函数函数f（x）在[0，2]上递减，即可得到a、b、c的大小关系．
本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题． 6.【答案】D
【解析】
本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键． 8.【答案】B
【解析】
2
解：当x∈[0，1）时，f（x）=x-x∈[-，0]，
当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，
|x-1.5|
∈[-1，]，
解：把函数
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，
可得函数y=3cos2x=3sin（2x+）图象，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
故选：D．
当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，
由题意利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-，
本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的
若x∈[-4，-2]时，f（x）≥
名称，是解题的关键，属于基础题． 7.【答案】D
【解析】
-t+恒成立，
∴≥-t+恒成立．
2
即t-4t+3≤0，
解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x-c）， 与y=-x联立，可得交点M（，-），
即（t-3）（t-1）≤0， 即1≤t≤3， 即t∈[1，3]， 故选：B．
根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．
本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大． 9.【答案】{0，1，2}
【解析】
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF2|，即有
22∴b＞3a，
222
∴c-a＞3a，即c＞2a．
2＞c，
解：∵集合A={0，1，2，3}， B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}， ∴A∩B={0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}．
先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】-3
【解析】
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D．
根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．
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