1. （15分）NBA篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与
客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的，问：
（1） 主队得胜的概率有多大？
（2） 在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？ （3） 在第一节主队赢5分的情况下，主队得胜的概率有多大？
（?(1.23)?0.889 ，?(0.577)?0.718，?(2.24)?0.987，?(x)是标准正态分布函数）解：记 A={主队得胜}，Xi={第i节主队与客队的得分之差}（i=1,2,3,4），则X1，X2，X3，X4相互独立，且都服从正态分布X~N(1.5,6)，由正态分布的可加性可得：
X1?X2?X3?X4~N(6,24)，X2?X3?X4~N(4.5,18)，X3?X4~N(3,12)
（1）P(A)?P(?Xi?0)?P(i?1i?14?X4i?6?240?6)?1?P(i?124244?X4i?6??6) 2?1??(?1.2247)??(1.2247)?0.8897.
Xi?6?0?66P(A)?P(?Xi?0)?P(?)?1?P(i?1??)22424i?1X?X4?35?3X?X4?31?P(3?)?1?P(3?)?1??(0.5775)?0.2818.
12121234(3) P(A|X1?5)?P(?Xi?14i?0|X1?5)?P(X2?X3?X4??5) ?X?X3?X4?4.5?9.5?5?4.5)?1?P(2?) 181832?P(X2?X3?X4?4.518?1??(?2.239)??(2.239)?0.9874.
2. （10分）质量检验员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产
品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要复查的概率为0.5，试用中心极限定理估算一下在8小时内检验员能检查完1600个产品的概率。(?(1.4)?0.9713)
?,1600)，则Xi~?解：设Xi表示检查第i个产品所花费的时间(i?1,2，?0.50.5??.
???1020?EXi?10?0.5?20?0.5?15,
DXi?E(Xi2)?[E(Xi)]2?102?0.5?202?0.5?152?25.
1600令X?限定理可知
?Xi?1i表示检查完1600个产品所花的总时间，由独立同分布的林德伯格中心极
P(X?8?3600)?P(?P(X?nE(Xi)8?3600?1600?15?)
nD(Xi)1600?25X?1600?158?3600?1600?15X?1600?15?)?P(?1.4)??(1.4)?0.9713
2001600?251600?25即检验员在8小时内检查完1600个产品的概率是0.9713.
3. (10分) 设总体X服从正态分布N(12,4)，X1,X2，?,Xn是来自总体X的简单随机样本，求
（1） n=5时样本均值X与总体均值之差绝对值大于1的概率；
（2）P(max{X1,X2,?,X5}?15).(?(1.118)=0.8686, ?(1.5)?0.9332) 解：（1）当n=5时，X~N(12，)，即
45X?12~N(0，1) 45所以 P(|X?12|?1)?1?P(?1X?12155??)?1?[?()??(?)]
22454545?2[1??(5)]?2[1??(1.118)]?0.2628. 2(2) P(max{X1,X2,?,X5}?15)?1?P(max{X1,X2,?,X5}?15)
?1?P(X1?15)P(X2?15)?P(X5?15)
?1?[P(X1?15)]5?1?[P(X1?1215?125?)] 22?1?[?(1.5)]5?1?(0.8531)5?0.29.
4. （20分）设总体X服从正态分布N(?,8)，?未知。在总体X的10个观测值的平均值
x?1500时，（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）要想使?的置信水平为0.95
的置信区间的长度不超过1，则n至少取多大? (3) 如果总体的样本容量n=64，则当区间
(X?1，X?1)是?的置信水平为1??的置信区间时，?应多大？(z0.025?1.96, z0.0023?2.828)
解：（1）由于??8已知，所以正态总体数学期望?的置信水平为1??的置信区间为
2(x?z?2?n，x?z?2?n)
由题设知x?1500所以?的置信水平为0.95的置信区间，n?10，??8，z0.025?1.96，为(1500?1.9688，1500?1.96)?(1498,1502). 101088，x?1.96)，nn(2) 当样本容量为n时，?的置信水平为0.95的置信区间为(x?1.96于是要使该区间的长度不超过1，即2?1.96最少为123.
8?1，必有n?122.93，即观测值的个数nn(3) 如果总体的样本容量n=64时，?的置信水平为1??的置信区间为(X?1，X?1)，则有z?28??1，即z??22?2.828，查表可得?1?0.9977?0.0023，即??0.0046.
2642?6x?(??x)0?x??5. （15分）设总体X的分布密度为f(x)???3，X1,X2，?,Xn是
?0其它??的方差D(??). 取自总体X的简单随机样本，求（1）求?的无偏估计量??；（2）求?解：（1）EX??xf(x)dx??x-?0???6x?(??x)dx?3?2，
1n令 ?X??Xi2ni?1??1n????2X。因为?X??Xi2ni?1??2EX?2EX??, ?E?所以2X是?的无偏估计量。
nn14?)?D(2X)?4D(X)?4D[?X]??D(X)?4D(X) （2）D(?iini?1nn2i?1因为D(X)?EX?(EX)?22??032?2?2x3(??x)dx?()????,
210420?26x?24?2?2??所以 D(?)??。
n205n6. （15分）设有12名志愿受试者服用减肥药，服药前和服药一个疗程后，各测量1次体重(公斤)，数据如下：
服药前：101，131，131，143，124，137，126，95，90，67，84，101 服药后：100，136，126，150，128，126，116，105，87，57，74，109
2经计算：志愿受试者服药前的平均体重为X?110.833，样本方差为s1?586.88；
志愿受试者服药后的平均体重为Y?109.55，样本方差为s22?718.64。并设志愿受试者服药前的体重近似服从正态分布X~N(?1,?2)，服药后的体重近似服从正态分布Y~N(?2,?2)。试判断此减肥药是否有效？
(??0.05,t0.025(22)?2.0739)
解：设志愿受试者服药前后的体重分别近似服从X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2)。
该问题可归结为下述的假设检验问题
H0:?1??2,H1:?1??2
2(n1?1)s1?(n2?1)s2X?Y2利用双侧检验法，取检验统计量t?，其中S?? n?n?21112S??n1n2当原假设H0为真时，t~t(n1?n2?2)?t(22) ，其拒绝域为W={|t|>t0.025(22)}。
22依题意有??0.05,n1?n1?12,X?110.833,Y?109.55,s1?586.88,s2?718.64,
s??11?(568.88?718.64)?25.549,t?22X?Y110.833?109.5??0.12783,
1111S??25.549?n1n21212由于|t|?0.12783?t0.025(22)?2.0739，不能拒绝H0，即不能认为此减肥药有效。
7. （15分）以家庭为单位, 某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据
如下表:
价格x(元)5222.32.52.62.833.33.5
需求量y(kg)13.532.72.42.521.51.21.2假设商品的需求量y与价格x之间存在近似的线性关系。
????x; ???(1) 求经验回归方程y01(2) 检验线性关系的显著性(??0.05, 采用F?检验法，F0.05(1，8)?5.32). 解 (1) x?2.9,Lxx?7.18,y?2.1,Lyy?6.58,
Lxy??xiyi?nxy?54.97?2.1?2.9?10??5.93,
i?1n?x?4.449,??y????L/L??0.826, ?10故? xyxx1??4.495?0.826x. 经验回归方程y?L?1.682, ?L?(?0.826)?(?5.93)?4.898, S?L??(2) S回??剩1xyyy1xyF0?S回S剩(n?2)?8?4.898?23.297, 1.682
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