电气工程课程设计（报告）
5、数学模型的方程
规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。
1)电压方程
?uA??Rs????uB???uC?? ?????ua???u??b???u????c??式中：
RsRsRrRr??iA???i???B???iC???????ia???ib??????Rr??ic?????????p???????????B??C? (2-1) a??b??c?AuA、uB、uC、ua、ub、uc——定子、转子的各相电压瞬时值； iA、iB、iC、ia、ib、ic——定子、转子的各相电流瞬时值；
?A、?B、?C、?a、?b、?c——各相绕组全磁链；
Rs、Rr——定子和转子绕组电阻；
p——微分算子。
2)磁链方程
每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其他绕组对它的互感磁链之和，六个绕组的磁链可表达为:
??A??LAA?????B??LBA??C??LCA??????a??LaA????LbAb???????L?c??cALABLBBLCBLaBLbBLcBLACLBCLCCLaCLbCLcCLAaLBaLCaLaaLbaLcaLAbLBbLCbLabLbbLcbLAc??iA????LBc??iB?LCc??iC???? (2-2) Lac??ia?Lbc??ib????i??Lcc???c?式中，L是6×6电感矩阵，其中对角线元素分别为定转子三相绕组的自耦自感，其余为定子相互间、转子相互间、定转子相互间的互感。
3)转矩方程
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由机电能量转换原理，电磁转矩Te等于电流不变时磁场储能对机械角位移的偏导数：
d?????dt??W?1iT??1iTLim?22? ? (2-3) ???m?np??dWm?Te?d?m??式中：
?——电角速度；
?——电角度表示的空间角位移； Wm——磁场储能；
np——电机的极对数；
θm——机械角位移
4)运动方程
一般情况下，电机的转矩平衡方程式为：
Te?TL?式中： TL——负载；
J——电机转轴或传动装置的转动惯量； D——与转速成正比的阻转矩阻尼系数； K——扭转弹性转矩系数。
Jd?DK （2-4） ???? npdtnpnp2.2 坐标变换
2.2.1 变换矩阵的确定原则
感应电机的控制可以通过矢量的坐标变换来把感应电机的转矩控制等效为直流电动机的转矩控制。所以，矢量的坐标变换是电动机矢量控制系统中非常重要
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的步骤。
在确定电机的电流变换矩阵时，应该使得变换前后的旋转磁场等效，即变换前后的电动机旋转磁场相同。 2.2.2 功率不变原则
功率不变原则所体现的是在确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时应该遵守变换前后电机的功率不变的原则。
如果能将交流电机的物理模型等效成直流电机的形式，然后再利用直流电机的控制方式，则可以使问题简化。坐标变换正是按照这一思路进行的，在这里不同电机模型等效的原则是:在不同的坐标系下产生的磁动势相同。三相平衡的正弦电流通到交流电机三相对称的静止绕组A、B、C会产生旋转磁动势F，在空间呈正弦分布，并以同步转速ω1绕A—B—C—A相序旋转。然而任意相平衡电流通入相应相的对称绕组均可以产生旋转磁动势，其中以两相绕组最为简单，两相静止绕组在空间相差90°，通以时间上相差90°的两相平衡电流也产生旋转磁动势F，当三相交流绕组和两相交流绕组产生的磁动势相等时，认为三相绕组和两相绕组等效。
旋转的直流绕组中的两个匝数相同的绕组互相垂直.它们分别被通以直流电流，产生合成磁动势F，令整个铁心以同步转速ω1旋转，则磁动势F成为旋转磁动势，如果将其大小和转速也控制成与三相交流绕组和两相交流绕组的旋转磁动势相同，则这套旋转的直流绕组就和前面两套交流绕组等效。
2.3 矢量控制
2.3.1 问题分析
无论采取何种方式对异步电机进行调速控制，其实质都是直接或间接控制电机的转矩。所谓异步电机的矢量控制，实际上就是借鉴直流电机的转矩关系，通过坐标变换的方法，得到与直流电机转矩形式相似的异步电机解耦转矩表达式，进而对其进行方便调节的控制方式。下面首先简单介绍直流电机的转矩控制方式，并通过直流电机与异步电机转矩的比较引出矢量控制原理。 2.3.2 直流电机的转矩控制
已知直流电机的转矩，即
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Te?K?Ia?K'IaIf
式中：
K 、 K’ ——比例系数； Ia——直流电机转子电枢电流； If—— 定子励磁电流；
Φ——由定子励磁电流单独产生的气隙主磁通。
从直流电机的结构知道，Ia和If相互正交（所谓正交是指两个量在对方坐标轴的投影为0），我们称Ia和If是解耦的。这样一来Ia和If 彼此无关，都只与转矩Te有关，因而可以分别加以控制，因此，当If 一定时，磁场恒定，可以通过调节电枢电流Ia来改变电机的转矩和转速。同理，当Ia一定时，也可以通过改变If 来改变电机的转矩和转速。由于Ia和 If 与 Te之间的线性关系，通过它们来调节转矩及转速时可以获得良好的动态指标。 2.3.3 异步电机的转矩分析
在三相异步电机中，定子上有空间对称分布的三相绕组，转子为鼠笼绕组（或绕线式绕组），在定子三相绕组通以三相对称的交流电时，产生一个以速度ω1旋转的空间磁场，该磁场在转子绕组中感应出转子电流，最终转子电流与空间磁场相互作用产生电磁转矩，异步电机电磁转矩的表达式，即
Te?K?mI2cos?2
式中：
K——比例系数； Φm——气隙中的主磁通； I2——转子电流； cosФ2——转子功率因数。
从异步电机的结构知道，对于鼠笼式的转子来说，转子电流I2及功率因数cosФ2显然无法加以控制，而Φm由定子电流和转子电流共同决定，也不能直接控制，因此通过直接改变定子电流来控制异步电机的电磁转矩Te显然非常困难，要想实现类似于直流电机的解耦控制更是不可能的。 2.3.4 矢量控制原理
考直流电机中的解耦控制，如果能够把异步电机的定子电流也分解为互相正
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