高考真题专题练之利用递推关系求数列的通项公式(十三)

利用递推关系求数列的通项公式-真题

1．（2015·课标全国II卷理）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1则Sn?________．

??1，an?1?SnSn?1，

?1?2．（2015·江苏理）设数列{an}满足a1=1，且an+1－an=n+1（n∈N*），则数列??的前10

?an?项的和为 ．

3．（2015?课标全国Ⅰ文）在数列{an}中，a1?2，an?1?2an，Sn为{an}的前n项和．若

Sn?126，则n?_______．

4.（2016·浙江理）设数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4,an?1?2Sn?1,n?N*，则a1= ，S5= ．

5.（2015?四川卷文）(本小题满分12分)设数列{an}(n?1,2,3,?)的前n项和Sn满足

Sn?2an?a1，且a1，a2?1，a3成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{1}的前n项和Tn，求Tn． an6.（2017·全国Ⅱ卷文）(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2． (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3．

7.（2016·山东理）（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和Sn=3n2+8n，?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1.

(1)求数列?bn?的通项公式；

(an?1)n?1.求数列?cn?的前n项和Tn． (2)令cn?n(bn?2)8.（2017·全国Ⅰ卷文）(本小题满分12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

9.（2016·江苏理）（本小题满分16分）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST?at1?at2?L?atk．例如：T={1，3，66}时，ST?a1?a3?a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1； (3)设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．

1利用递推关系求数列的通项公式-真题答案

1．（2015·课标全国II卷理）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1则Sn?_________． 1【答案】－

n

【解析】∵an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1． 两边同时除以SnSn＋1，得11

又∵＝＝－1，

S1a1

?1?

∴?S?是首项为－1，公差为－1的等差数列． ?n?

??1，an?1?SnSn?1，

1

－＝－1． Sn＋1Sn

1

11∴＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，∴Sn＝－． Snn

【点评】刷有所得：已知an与Sn的关系式，求Sn或an是高频考点，需重点突破，解决这类题时，要贯彻几个原则：①尽量只保留an或者Sn；②谁好消去，就消去谁；③一般是求谁保留谁．

测训诊断：本题难度适中，式子相对简单，计算量不大，只需合理转化，便可直击目标，争取得分．

?1?2．（2015·江苏理）设数列{an}满足a1=1，且an+1－an=n+1（n∈N*），则数列??的前10

?an?项的和为 ． 20

【答案】 11

【解析】因为an＋1－an＝n＋1， 所以n≥2时，

（1＋n）n

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝．

2又a1＝1适合上式，所以an＝

n（n＋1）

(n∈N*)， 2

1112

所以＝＝2?n－n＋1?，

ann（n＋1）??

111?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1??＝20． 所以＋＋…＋＝2??1011??11a1a2a10??2??23?

【点评】本题难度适中，主要考查由递推式求通项公式，及裂项相消法求和，考查学生对基础知识的掌握及运算求解能力．

3．（2015?课标全国Ⅰ文）在数列{an}中，a1?2，an?1?2an，Sn为{an}的前n项和．若

Sn?126，则n?_______．

【答案】6

【解析】由题意，{an}是以2为首项，2为公比的等比数列． 2（1－2n）n＋1从而Sn＝＝2－2＝126，n＝6．

1－2

【点评】关键点拨：通过已知条件判定{an}是等比数列，再进行计算．

刷有所得：等差数列与等比数列是文科高考中数列章节的重点考查对象，要求学生对通项公式、前n项和公式要熟练应用．

测训诊断：本题难度较易，主要考查等比数列的前n项和．

4.（2016·浙江理）设数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4,an?1?2Sn?1,n?N*，则a1= ，S5= ． 【答案】1 ，121

【解析】∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2a1＋1．

又∵S2＝a1＋a2＝4，∴a1＝1，a2＝3．由an＋1＝2Sn＋1得a3＝2S2＋1＝9，a4＝2S3＋1＝2(a1＋a2＋a3)＋1＝27，a5＝2S4＋1＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋1＝81， ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝121． 快解：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2a1＋1．

又∵S2＝a1＋a2＝4，∴a1＝1，a2＝3． 由an＋1＝2Sn＋1得当n≥2时，an＝2Sn－1＋1， ∴an＋1－an＝2an(n≥2)，即an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)． 当n＝1时，a2＝3a1，满足an＋1＝3an，

1－35∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴S5＝＝121．

1－3【点评】关键点拨：由递推关系求得an＋1＝3an(n≥2)后，应验证a2＝3a1．

测训诊断：本题难度中等，考查由递推关系求通项，应注意细节，尽量不要在计算上失分．另外，因为求S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值，亦可以逐项求出a1，a2，a3，a4，a5，不应失分．