抛物线中的定点定值问题

抛物线练习（定点定值垂直等）

例1.已知A,B是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，且OA?OB． 求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;

（2）直线AB恒过定点;

（3）求弦AB中点P的轨迹方程; （4）求△AOB面积的最小值； （5）O在AB上的射影M轨迹方程.

思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？

思考2：本题中，OA?OB，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOA kOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考3：若kOA+ kOB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；

思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

思考5：上述结论在椭圆中成立吗？

抛物线专题第1页

例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）

试着以抛物线y2?4x上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。

例3.类比于专题7例4---例6

已知抛物线y2?4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，使PF平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.

思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究KAF,KBF的关系。

抛物线专题第2页

思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：

?????????已知定点H(?3,0)，动点P在y轴上，动点Q在x轴的正半轴上，动点M满足:HP?PM?0，

?????3PM??MQ.设动点M的轨迹为曲线C，过定点D(m,0)(m?0)的直线l与曲线C相交于

2A、B两点．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点E的坐标为(?m,0)，求证：?AED??BED；

（3）是否存在实数a,使得以AD为直径的圆截直线l?:x?a所得的弦长恒为定值？若存在求出实

数a的值；若不存在，请说明理由.

抛物线专题第3页

例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：

如图：若AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点, l是抛物线的准线,MN?l，N为垂足，BD?l,AH?l,D,H为垂足.证明： （1）AN?BN；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． （2）HF?DF； （3）FN?AB；

（4）A、O、D三点共线；（能否推广？F(a,0),l:x??a）

思考：若AB是过抛物线y?2px(p?0)焦点F的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）

抛物线专题第4页

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